2[1]2-拉普拉斯變換-展示頁
2025-08-03 15:59本頁面
【正文】 析方法 ：時域法 、 頻域法 。 借助于系統(tǒng)頻率特性分析系統(tǒng)的性能 ， 拉普拉斯變換是其數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 。 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù) 復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù) s=? +j? （有一個實(shí)部 ? 和一個虛部 ?， ? 和 ? 均為實(shí)數(shù)） 兩個復(fù)數(shù)相等：當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等。 拉普 拉斯變換 1j ?? 稱為 虛數(shù)單位 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 復(fù)數(shù)的表示法 對于復(fù)數(shù) s=? +j? 復(fù)平面 ：以 ? 為橫坐標(biāo) (實(shí)軸 )、 ? 為縱坐標(biāo) (虛軸 )所構(gòu)成的平面稱為復(fù)平面或 [s]平面 。 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù) ? o 復(fù)平面 [s] ?1 ?2 j? ?1 ?2 s1=?1+j?1 s2=?2+j?2 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 ① 復(fù)數(shù)的向量表示法 復(fù)數(shù) s=? +j? 可以用從原點(diǎn)指向點(diǎn) (? , ?)的向量表示 。 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù) (a) 當(dāng) s=zi時 ， G(s)=0， 則 si=zi稱為 G(s)的 零點(diǎn) ； 分子為零 分母為零 通常 ， 在線性控制系統(tǒng)中 ， 復(fù)變函數(shù) G(s)是復(fù)數(shù) s的單值函數(shù) 。 )()()(jipszsksG????? 當(dāng)復(fù)變函數(shù)表示成 (b) 當(dāng) s=pj時 ， G(s)→∞ ， 則 sj=pj稱為 G(s)的 極點(diǎn) 。 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù) 復(fù)變函數(shù)的實(shí)部 122 ??? ??u復(fù)變函數(shù)的虛部 ??2?v解 ： G(s)＝ s2+1＝ (? +j?)2 + 1 ＝ ? 2 + j(2? ?) ?2 + 1 ＝ (? 2 ?2 + 1) + j(2? ?) 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 拉普拉斯變換的定義 拉氏變換是控制工程中的一個基本數(shù)學(xué)方法 ， 其優(yōu)點(diǎn)是能將時間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)拉氏變換后 ， 變成復(fù)變量 s的乘積 ， 將時間表示的微分方程 ， 變成以 s表示的代數(shù)方程 。 設(shè)有時間函數(shù) f(t)， 當(dāng) t 0 時 ， f(t)＝ 0；在 t≥0時定義函數(shù) f(t) 的拉普拉斯變換為： 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 拉氏變換是否存在取決于定義的積分是否收斂 。 式中 ： M、 a為實(shí)常數(shù) 。 其拉普拉斯變換為 ： ? ? asteteeeL tasstatat ???? ?? ? ??? ??? 1dd0)(0上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 (5) 正弦信號函數(shù) 正弦信號函數(shù)定義： 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換 ??????0,si n00)(ttttf?由歐拉公式 ， 正弦函數(shù)表達(dá)為： ? ?tjtjj21si n ??? eet ??tte ??? s injco stj ??tte ??? s injco stj ??兩式相減 其拉普拉斯變換為 ： ? ? ? ??? ? ?? ? ?????0tjtj0dj21dsi nsi n teeetettL stst ????? ? 220t)j(t)j(j1j1j21dj21????????????????????? ?? ?sssteess上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 (6) 余弦信號函數(shù) 余弦信號函數(shù)定義： 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換 ??????0,c o s00)(ttttf?由歐拉公式 ， 余弦函數(shù)表達(dá)為： ? ?tjtj21co s ??? eet ??tte ??? s injco stj ??tte ??? s injco stj ??兩式相加 其拉普拉斯變換為 ： ? ? ? ??? ? ?? ? ?????0tjtj0d21dco sco s teeetettL stst ????? ? 220t)j(t)j(j1j121d21???????????????????? ?? ?ssssteess上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 拉普拉斯變換簡表 (待續(xù) ) 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換 序號 原函數(shù) f(t) (t 0) 象函數(shù) F(s)=L[f(t)] 1 1 (單位階躍函數(shù) ) 1 s 2 ? (t) (單位脈沖函數(shù) ) 1 3 K (常數(shù) ) K s 4 t (單位斜坡函數(shù) ) 1 s2 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 拉普拉斯變換簡表 (續(xù) 1) 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換 序號 原函數(shù) f(t) (t 0) 象函數(shù) F(s) = L[f(t)] 5 t n (n=1, 2, … ) n! s n+1 6 e at 1 s + a 7 tn e at (n=1, 2, … ) n! (s+a) n+1 8 1 T 1 Ts + 1 t T e 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 拉普拉斯變換簡表 (續(xù) 2) 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換 序號 原函數(shù) f(t) (t 0) 象函數(shù) F(s) = L[f(t)] 9 sin?t ? s2+?2 10 cos?t s s2+?2 11 e at sin?t ? (s+a)2+?2 12 e at cos?t s+a (s+a)2+?2 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 拉普拉斯變換簡表 (續(xù) 3) 典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換 序號 原函數(shù) f(
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