第七章∶空間解析幾何向量代數(shù)-展示頁
2024-09-17 15:52本頁面
【正文】 數(shù)的概念 定義 設(shè) D 是 2R 的一個(gè)非空的子集，稱映射 RDf ?: 為定義在 D 上的二元函數(shù)，通常記為 ),( yxfz? ),( yx 三、多元函數(shù)的極限 定義 設(shè)函數(shù) f(x,y)在開區(qū)域（或閉區(qū)域） D內(nèi)有定義， P0(x0,y0)是 D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)。 二、一般方程 Ax+By+Cy+D=0，其中 {A， B， C}是平面法向， 例 1 求通過 x 軸和點(diǎn) )1,3,4( ?? 平面方程 截距式方程： 。 二、 空間曲線的參數(shù)方程 1. t為參數(shù) . 1. 方程組 表示怎樣的曲線 ? 三、 曲線在坐標(biāo)面上的投影 設(shè)空間曲線 C的一般方程為 由上述方程組消去變量 z， x， y后所得的方程分別為： H( x , y )=0 R( y , z )=0 T( x , z )=0 表示曲線 C在 xOy面上的投影 , 表示曲線 C在 yOz面上的投影 , 表示曲線 C在 xOz面上的投影。因此，曲線 C可以用方程組（ 1）來表示。設(shè) F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0 是兩個(gè)曲面的方程，它們的交線為 C。 方程 所表示的曲面叫做雙葉雙曲面。 3 雙曲拋物面 方程 （ p 和 q 同號(hào)）所表示的曲面叫做雙曲拋物面。 1 橢球面 方程 所表示的曲面叫做橢球面。即用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲線相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了 解曲面的全貌。 三、柱面 母線平行與坐標(biāo)軸的柱面方程為不完全的三元方程 ,如 F(y, z)=0就表示母線平行與 x軸 ,準(zhǔn)線為 的柱面 . 例 2 求以曲線??? ? ??0: 222z RyxL 為準(zhǔn)線，以 }1,1,1{?a 為母方向的柱面方程 四、 二次曲面 我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。 重點(diǎn)：向量運(yùn)算、平面及其方程、空間直線及其方程 難點(diǎn)：曲面及其方程 一、向量概念 向量的概念 既有大小又有方向的量 向量的模 a 零向量 二、向量的線性運(yùn)算 向量的加減法 1）交換律 : abba ??? 2）結(jié)合律 )()( cbacba ????? 3) 0)(,0 ????? aaaa 向量與數(shù)的乘法 結(jié)合律： aa )()( ???? ? 分配律：babaaaa?????????????)()( 單位向量 aaa 10 ? 定理 1 若向量 0?a ,則向量 b 與 a 平行的充要條件是：存在實(shí)數(shù) ? ,使得 ab ?? 三、 空間直角坐標(biāo)系 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 ? ?zyx aaaa ,? ),( zyx bbbb? ),( zzyyxx babababa ????? ? ?zyx aaaa ???? ,? 五、向量的模、方向角、投影 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式 向量的模 222 zyxa ??? 點(diǎn)間距離 ? ? 231221221 )()( zzyyxxd ?????? 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式 1） 方向余弦 0321321 1},{1,}c os,c os,{ c o s aaaaaaaaaaaaa ????????????????? 2） 兩非零向量夾角余弦的計(jì)算公式ba babababa 332211,c os ??? 例 1 已知兩點(diǎn) )2,2,2(1M 和 )0,3,1(2M ,計(jì)算向量 ?21MM 的模、方向余弦和方向角 向量在軸上的投影 （ 1） 定義 向量 a 在向量 u 上的投影 uaaa u ,cos)( ? （ 2）性質(zhì) 數(shù)量積 向量積 一、兩向量的數(shù)量積 bababa ,cos?? (1) 2aaa ?? (2)對(duì)非零向量 baba ?, 的充要條件是 0??ba (3) 非零向量 a 與 b 垂直的充要條件是 0332211 ????? babababa 例 1 試用向量證明余弦定理 例 2 已知三點(diǎn) )2,1,2(),1,2,2(),1,1,1( BAM ,求 AMB? 二、 向量的向量積 bababa ,sin?? 兩非零向量平行的充要條件是 0??ba 向量叉乘運(yùn)算律 （ 1） abba ???? （ 2）)()( )()( baba baba ??? ??? ?? ?? （ 3）bcacbac cbcacba ?????? ?????? )( )( 若 },{},{ 321321 bbbBaaa ? ,則321321bbbaaakjiba ?? 例 3 }1,1,2{ ??a 和 }2,1,1{ ??b ，計(jì)算 ba? 例 求直線??? ???? ???? 012 012: zyx zyxl與平面012: ???? zyxS 的夾角 ? 曲面及其方程 一、 曲面方程的概念 如果曲面 S與三元方程 0),( ?zyxF (1) 有下述關(guān)系： 1. 曲面 S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程 (1)； 2. 不在曲面 S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程 (1)， 那末，方程 (1)就叫做曲面 S的方程，而曲面 S就叫做方程 (1)的圖形。 空間曲線（直線）極其方程示例。第 七 章：空間解析幾何 向量代數(shù) 本章知識(shí)點(diǎn) 幾種常用的曲線。 曲面極其方程示例。 二次曲面示例。 二、旋轉(zhuǎn)曲面 旋轉(zhuǎn)曲面方程 設(shè)平面曲線 l : 繞 z軸旋轉(zhuǎn) ,則旋轉(zhuǎn)曲線方程為 例 1 試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)軸為 z 軸，半頂角為 ? 圓錐面方程。為了了解三元方程 F (x , y ,z )=0所表示得的曲面的形狀，我們通常采用截痕法。同學(xué)們可試用截痕法考察下面的二次曲面。 2 拋物面 方程 （ p 和 q 同號(hào)）所表示的曲面叫做拋物面。 4 雙曲面 方程 所表示的曲面叫做單葉雙曲面。 5 橢圓錐面 22222 zbyax ?? 7 .4 空間曲線及其方程 一、 空間曲線一般方程 空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線。因?yàn)榍€ C上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)曲面的方程，所以應(yīng)滿足方程組 （ 1） 反過來，如果點(diǎn) M不在曲線 C上，那末它不可能同時(shí)
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