【正文】 | f （ x， y） |， 又有不等式 。 因此，等式（ 1） 也寫(xiě)成 ，（ 1’ ） 在上述討論中，我們假定 f（ x， y） ? 0 ，但實(shí)際上公式（ 1）的成立并不受此條件限制。 在極坐標(biāo)系中，面積元素 ds = rdrdθ ，上式成為 。 9． 4. 重積分的應(yīng)用 一、 曲面的 面積 曲面 S ),( yxfz? 曲面面積 ?dyxfyxfAD yx?? ??? ),(),(122 例 1 求半徑為 a 的球的表面積。這時(shí)，我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算二重積分 。 這個(gè)體積也就是所求二重積分的值，從而有等式 。 此性質(zhì)表示二重積分對(duì)于積分區(qū)域具有可加性。因此我們要一般地研究這種和的極限，并抽象出下述二重積分的定義。 三重積分的概念及計(jì)算方法。 二元函數(shù)的極值問(wèn)題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)解決。 （ t0） } 就是曲線 Г 在點(diǎn) M處的一個(gè) 切向量 。 偏導(dǎo)數(shù) 一、偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算 定義 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng) y固定在 y0而 x在 x0處有增量 Δx 時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量 f(x0+Δx,y 0)f(x0,y0), 如果 存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù) z=f(x,y) 在點(diǎn) (x0,y0)處對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù)，記作 或 fx（ x0， y0）。 5 橢圓錐面 22222 zbyax ?? 7 .4 空間曲線及其方程 一、 空間曲線一般方程 空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線。第 七 章：空間解析幾何 向量代數(shù) 本章知識(shí)點(diǎn) 幾種常用的曲線。設(shè) F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0 是兩個(gè)曲面的方程，它們的交線為 C。 對(duì)于函數(shù) z=f(x,y)，求 時(shí)，只要把 y暫時(shí)看作常量而對(duì) y求導(dǎo)。 通過(guò)點(diǎn)而與切線垂直的平面稱(chēng)為曲線 Г 在點(diǎn) M處的法平面，它是通過(guò)點(diǎn) M（ x0， y0， z0）而以 T為法向量的平面 法平面的方程 φ39。 定理 1（必要條件） 設(shè)函數(shù) z = f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn) (x0,y0)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： fx(x0,y0) = 0， fy(x0,y0) = 0。 重點(diǎn) :重積分的計(jì)算 難點(diǎn)：重積分的 計(jì)算 二重積分的概念與性質(zhì) 一、 二重積分的概念 為引出二重積分的概念，我們先來(lái)討論兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題。 定義 設(shè) f（ x， y）是有界閉區(qū)域 D上的有界函數(shù)。 性質(zhì) 4 如果在 D上， f（ x， y） = 1， s 為 D的面積，則 。（ 1） 上 式右端的積分叫做先對(duì) y、后對(duì) x的二次積分。 按二重積分的定義有 ， 由于在直角坐標(biāo)系中 也常記作 ，所以上式又可寫(xiě)成 這就是二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換公式為 (1)0?r?φ （ θ ）， α?θ?β 。 二、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力 。 由二重積分的性質(zhì) 4，閉區(qū)域 D的面積 s 可以表示為 。這個(gè)先對(duì) y、后對(duì) x的二次積分也常記作 。 性質(zhì) 5 如果在 D上， f（ x， y） ? j （ x， y），則有不等式 。在每個(gè) D s i上任取一點(diǎn)（ x i， h i），作乘積 f（ x i， h i） D s i（ i = 1, 2, ?, n,），并作和 ?，F(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M。 利用定理 2，我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) z = f(x,y)的極值的求法敘述如下： 第一步 解方程組 fx(x,y) = 0， fy(x,y) = 0， 求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。 （ t0）（ yy0） +ω39。 例 1 求 13 323 ???? xyxyyxz 的二階偏導(dǎo)數(shù) 例 2 驗(yàn)證函數(shù) 22ln yxz ?? 滿足方程 02222 ?????? yzxz 全微分 全微分的概念 定義 如果函數(shù) ),( yxfz? 在點(diǎn) ),( yx 的全增量 ),(),( yxfyyxxfz ??????? 可表示為 ),(?oyBxAz ?????? 其中 BA, 不依賴(lài)于 yx??, 而僅與 yx, 有關(guān)， 22 )()( yx ????? ,則稱(chēng)函數(shù) ),( yxfz? 在點(diǎn) ),( yx 可微分，而 .yBxA ??? 稱(chēng)為函數(shù) ),( yxfz? 在點(diǎn) ),( yx 的 全微分，記作 dz ,即 .yBxAdz ???? 定理 1 若函數(shù) ),( yxf 在點(diǎn) ),( yx 可微，則函數(shù) ),( yxf 在點(diǎn) ),( yx 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且 ByxfAyxf yx ?? ),(,),( 定理 2 如果函數(shù) ),( yxfz? 在點(diǎn) ),( 00 yx 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù) ),( yxf 在點(diǎn)),( 00 yx 可微 例 1 求函數(shù) 22 yyxz ?? 的全微分 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 yyxfxyxfyxfyyxxf yx ????????? ),(),(),(),( 例 2 求 ) ( 43 ?? 的近似值 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形。因此，曲線 C可以用方程組（ 1）來(lái)表示。 空間曲線（直線）極其方程示例。 4 雙曲面 方程 所表示的曲面叫做單葉雙曲面。 性質(zhì) 2（介值定理） 在有界閉區(qū)域 D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在 D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在 D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。 （ t0）， ψ39。 極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值。 二重積分的計(jì)算方法。 上面兩個(gè)問(wèn)題所要求的，都?xì)w結(jié)為同一形式的和的極限。 性質(zhì) 3 如果閉區(qū)域 D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域，則在 D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和。這平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間 [j 1（ x0）， j 2（ x0） ] 為底、曲線 z = f（ x0， y）為曲邊的曲邊梯形中陰影部分），所以這截面的面積為 。 例 2 求量各底圓半徑都等于 R的直交圓柱面所圍成的 立體的體積。 2． 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ?????? ?? ? ,),(),( dzddzFdx dy dzzyxf ????? 例 2 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ???? ,zdxdydz其中 ? 是由曲面 22 yxz ?? 與平面4?z 所圍成的閉區(qū)域。 特別地，如果閉區(qū)域 D如圖 928所示，則 φ 1（ θ ） ≡