【正文】 在兩個(gè)曲面上，所以它的坐標(biāo)不滿足方程組（ 1）。方程組（ 1）叫做 空間曲線 C的一般方程。 例 求兩球面的交線????????????1)1(1222222zyxzyx 在 xoy 平面上的投影 7． 5平面及其方程 一、 點(diǎn)法式方程： 。 三點(diǎn)式方程： 已知平面過空間三點(diǎn) ， ， ，則平面方程為 例 2 求過 x 軸且垂直與平面 03245 ???? zyx 的平面方程 三、 兩平面的夾角 兩平面的夾角 2121cos nn nn ???? 點(diǎn)到平面的距離 ? ?000 , zyxP o 平面 0: ???? DCzByAxs 222000 CBA DCzByAxd ?? ???? 7． 6空間直線及其方程 一、 空間直線的一般方程 ??? ???????? 0022221111 DzCyBxA DzCyBxA 二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程 對(duì)稱式方程 l zzn yym xx 000 ????? 參數(shù)式方程 ),(000????????????????tltzzntyymtxx 例 1 設(shè)直線 l 的方向向量 }2,1,0{ ,且過點(diǎn) )3,1,0( ,求 l 的標(biāo)準(zhǔn)方程 例 2 將直線的一般方程 ??? ???? ???? 0432 01zyx zyx 化為對(duì)稱方程與參數(shù)方程 三、兩直線的夾角 兩直線的夾角 ba ba ????cos 例 3 求直線 1 341 11 ????? zyxL和 1222:2 ????? zyxL的夾角。如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ε ，總存在正數(shù) δ ，使得對(duì)于適合不等式 的一切點(diǎn) P(x,y)∈D, 都有 |f(x,y)A|ε 成立，則稱常數(shù) A為函數(shù) f(x,y)當(dāng) x→x 0,y→y 0時(shí)的極限，記作 或 f(x,y) →A (ρ→0), 這里 ρ=|PP 0|。 如果 則稱函數(shù) f(x,y)在點(diǎn) P0(x0,y0)連續(xù)。 性質(zhì) 2（介值定理） 在有界閉區(qū)域 D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在 D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在 D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。 偏導(dǎo)數(shù) 一、偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算 定義 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng) y固定在 y0而 x在 x0處有增量 Δx 時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量 f(x0+Δx,y 0)f(x0,y0), 如果 存在，則稱此極限為函數(shù) z=f(x,y) 在點(diǎn) (x0,y0)處對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù)，記作 或 fx（ x0， y0）。 例 1 求函數(shù) 22 3 yxyxz ??? 在點(diǎn) )2,1( 處的偏導(dǎo)數(shù) 例 4 驗(yàn)證函 數(shù)?????????)0,0(),(0)0,0(),(),( 22yxyxyx xyyxf 在 )0,0( 點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)都為 0 但在點(diǎn))0,0( 不連續(xù) 二、 高階偏導(dǎo)數(shù) 定理 如果函數(shù) z=f（ x,y）的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 在區(qū)域 D內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。 定理 1 如果函數(shù) u=φ(t) 及 v=ψ （ t）都在點(diǎn) t可導(dǎo)，函數(shù) z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) (u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) z=f[φ(t), ψ(t)] 在點(diǎn) t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形。 定理 3 如果函數(shù) ),( yxu ?? 在點(diǎn) ),( yx 具有對(duì) x 及對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù) , )(yv ?? 在點(diǎn) y 可導(dǎo)， ),( vufz? 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) ),( vu 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) )](),([ yyxfz ??? 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在 ,且有 ,xu uzxz ?? ????? ,vdyzdvyu uzyz ????? ????? 例 1 設(shè) yxvxyuvez u ???? ,s in ,求 yx zz, . 例 4 設(shè) tveutuvz t c o s,s in ???? ,求全導(dǎo)數(shù) dtdz . 全微分形式的不變性 如果函數(shù) ),(),(),( vufzyxvvyxuu ??? 分別有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù))],(),([ yxvyxufz ? 的全微分為 dyyzdxxzdz ?????? 而 xvvzxuuzxz ???????????? , yvvzyuuzyz ?????????? 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 一、一個(gè)方程的情形 隱函數(shù)存在定理 1 設(shè)函數(shù) F(x,y)在點(diǎn) P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0) ≠ 0 ，則方程 F(x,y) = 0在點(diǎn) (x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) y = f(x)，它滿足條件 y0 = f(x0)，并有 。 隱函數(shù)存在定理 2 設(shè)函數(shù) F(x,y,z)在點(diǎn) P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且 F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) ≠ 0 ，則方程 F(x,y,z) = 0在點(diǎn) (x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能 唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) z = f(x,y)，它滿足條件 z0 = f(x0,y0)，并有 。 例 2 1,0 ???? xvyuyvxu 求 xu?? ,yv?? 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 一、空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線 Г 的參數(shù)方稱為 x=φ(t) ， y=ψ(t) ， z=ω(t) ， 這里假定上式的三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo)。 曲線在點(diǎn) M處的切線方程 ? ?)()( 0 00 00 0 tzztyytxx ??? ???????? 切線的方向向量稱為曲線的切向量。 （ t0）， ψ39。 （ t0） } 就是曲線 Г 在點(diǎn) M處的一個(gè) 切向量 。 （ t0）（ xx0） +ψ39。 （ t0）（ zz0） = 0。 二、 曲面的切平面與法線 設(shè)曲面 Σ 由方程 F（ x,y,z） = 0給出， M（ x0， y0， z0）是曲面 Σ 上的一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù) F（ x,y,z）的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零。這個(gè)平面稱為曲面 Σ 在 點(diǎn) M的切平面。法線方程是 x=3 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量。 例 1 求球面 14222 ??? zyx 在點(diǎn) )3,2,1(0P 處的切平面方程與法線方程。 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。 二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決。 定理 2（充分條件） 設(shè)函數(shù) z = f(