空間解析幾何簡介-展示頁
2025-07-29 06:55本頁面
【正文】 其 在 l 上任取一點(diǎn) O, O作 ?它與 則 點(diǎn) M離開轉(zhuǎn)軸的距離 a?且 符合右手法則 的夾角為 ? , ? ??s i n?? r,?? ?,?rv ??? ?方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 , 向徑 *三、 向量的混合積 1. 定義 已知三向量 稱數(shù)量 混合積 . 記作 幾何意義 為棱作平行六面體 , 底面積 高 ??h故平行六面體體積為 hAV ? ? ?cba ?? )( ? ?cba, cba的為 cba ,?A ba? ccba ,以 則其 cba ?? )(? ?cbaba?c bazyxzyxbbbaaa?xc yc zc2. 混合積的坐標(biāo)表示 設(shè) zxzxbbaa?yxyxbbaa?cba ??? )(??ba,),( zyx aaaa ?? ?cba zy zy bbaa?,),( zyx bbbb ? ),( zyx cccc ?xc yc zc2zxzxaaebb?3. 性質(zhì) (1) 三個(gè)非零向量 共面的充要條件是 0?(2) 輪換對(duì)稱性 : ][(可用三階行列式推出 ) ? ?cbacba ,a b c ][? ab c ][? a bcab c例 6. 已知一四面體的頂點(diǎn) 4 ) , 求該四面體體積 . 1A2A3A4A解 : 已知四面體的體積等于以向量 為棱的平行六面體體積的 故 61? 12 xx ? 12 yy ? 12 zz ?13 xx ? 13 yy ? 13 zz ?14 xx ? 14 yy ? 14 zz ?,21AA ,31AA 41AA][ 413121 AAAAAA?例 7. 證明四點(diǎn) ,)3,3,2(),6,5,4(,)1,1,1( CBA共面 . 解 : 因 0?)17,15,10(DABCD3 4 51 2 29 14 16故 A , B , C , D 四點(diǎn)共面 . ][ ADACAB內(nèi)容小結(jié) 設(shè) 1. 向量運(yùn)算 加減 : 數(shù)乘 : 點(diǎn)積 : ),( zzyyxx babababa ?????),( zyx aaaa ???? ?zzyyxx babababa ????),(,),(,),( zyxzyxzyx ccccbbbbaaaa ???叉積 : kjixa ya zaxb yb zb??ba混合積 : 2. 向量關(guān)系 : ?xxab ?yyabzzab0??? zzyyxx bababazyxzyxzyxcccbbbaaa?cba ??? )(? ?cba共面cba , 0?zyxzyxzyxcccbbbaaa0)( ??? cba0?? ba第三節(jié) 一、 平面的方程 二、平面的一般方程 三、兩平面的夾角 平面及其方程 定義： 設(shè) 是 中一個(gè)平面， 定義如上，則 中與二維子 空間 正交的非零向量稱為平面 的 法向量 ；平面 的 所有法向量添上零向量組成 的一個(gè)一維子空間， 中以平面 的法向量為方向向量的直線稱為平面 的法線 。 坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C 點(diǎn) M 特殊點(diǎn)的坐標(biāo) : 有序數(shù)組 ),( zyx ?? ?? ?? 11)0,0,( xP)0,0( yQ),0,0( zR)0,( yxA),0( zyB),( zoxC(稱為點(diǎn) M 的 坐標(biāo) ) 原點(diǎn) O(0,0,0) 。1 aa ?? ?可見 。 與 a 的模相同 , 但方向相反的向量稱為 a 的 負(fù)向量 , 記作 因平行向量可平移到同一直線上 , 故兩向量平行又稱 兩向量 共線 . 若 k (≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此 k 個(gè)向量 共面 . 記作－ a 。 若向量 a 與 b大小相等 , 方向相同 , 則稱 a 與 b 相等 , 記作 a＝ b ?？臻g解析幾何簡介 ?向量及其線性運(yùn)算 ?數(shù)量積 向量積 *混合積 ?空間平面及其方程 ?空間直線及其方程 ?二次曲線及其方程 ?二次曲面及其方程 數(shù)量關(guān)系 — 第一部分 向量 第二部分 空間解析幾何 在三維空間中 : 空間形式 — 點(diǎn) , 線 , 面 基本方法 — 坐標(biāo)法 。 向量法 坐標(biāo) , 方程（組） 空間解析幾何 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 第一節(jié) 一、向量的概念 二、向量的線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系 五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運(yùn)算 表示法 : 向量的模 : 向量的大小 , 一、向量的概念 向量 : (又稱 矢量 ). 1M2M既有 大小 , 又有 方向 的量稱為向量 向徑 (矢徑 ): 自由向量 : 與起點(diǎn)無關(guān)的向量 . 起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量 . 單位向量 : 模為 1 的向量 , 零向量 : 模為 0 的向量 , 有向線段 M1 M2 , 或 a , 規(guī)定 : 零向量與任何向量平行 。 若向量 a 與 b 方向相同或相反 , 則稱 a 與 b 平行 , a∥ b 。 二、向量的線性運(yùn)算 1. 向量的加法 三角形法則 : 平行四邊形法則 : 運(yùn)算規(guī)律 : 交換律 結(jié)合律 三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 . bbabba ???cba ?? )( )( cba ??? cba ??aaba?ba?s3a4a 5a2a1a54321 aaaaas ?????2. 向量的減法 三角不等式 abaa ?? ?? ?3. 向量與數(shù)的乘法 ? 是一個(gè)數(shù) , .a??規(guī)定 : 。1 aa ?? ???? 與 a 的乘積是一個(gè)新向量 , 記作 總之 : 運(yùn)算律 : 結(jié)合律 )( a??? )( a???? a????分配律 )( ba ?? ?? ba ?? ?? ?????a則有單位向量 .1 aa ?? 因此 ???? aaa ?Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ xyzⅤ Ⅷ Ⅳ 三、空間直角坐標(biāo)系 由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則 組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 . ? 坐標(biāo)原點(diǎn) ? 坐標(biāo)軸 x軸 (橫軸 ) y軸 (縱軸 ) z 軸 (豎軸 ) 過空間一定點(diǎn) o , o? 坐標(biāo)面 ? 卦限 (八個(gè) ) xoy面yoz面1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念 Ⅰ xyzo向徑 在直角坐標(biāo)系下 ?? ?? ?? 11坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R 。 rr M坐標(biāo)軸 : 坐標(biāo)面 : xyzo2. 向量的坐標(biāo)表示 在空間直角坐標(biāo)系下 , ,),( zyxM 則 沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的 分向量 . 1 2 3r x e y e z e? ? ?),( zyx
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