線性方程組的解法討論畢業(yè)論文-展示頁
2025-07-07 21:06本頁面
【正文】 （）形如（）的方程組叫做非齊次線性方程組，常記為矩陣形式: Ax=系數(shù)矩陣的秩. 且方程組()的解空間為. 則可以得到下列結(jié)論, 這里表示方程組()解空間的維數(shù)[9]．稱為方程組()的增廣矩陣，關(guān)于非齊次線性方程組，有以下理論：(1)唯一解： 線性方程組有唯一解.(2)無解：線性方程組無解.(3)無窮多解：線性方程組有無窮多解.：記,.(1)如果，那么；(2)如果，那么；(3)非齊次線性方程組的通解為, 是任意常數(shù),其中是的一個解(稱為特解)，是的一個基礎(chǔ)解系. 例4[7] 解線性方程組解 可見，則方程組有唯一解.所以方程組的解為 例5[1] 解線性方程組解 ，可見，所以原方程組無解. 例6 解線性方程組解 可見，則方程組有無窮多解，其同解方程組為 （其中,為自由未知量）令得原方程組的一個特解.又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為（其中,為自由未知量）令，得；令，得，于是得到導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為，.所以，原方程組的通解為（，）.4 線性方程組的解法 高斯消元法高斯（Gauss)消元法是一種古老的方法[4]，基于高斯消元法的基本思想而改進、變形得到的主元素消去法、三角分解法，是最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：（1）把某個方程的k倍加到另外一個方程上去；（2）交換某兩個方程的位置；（3）用某個常數(shù)k乘以某個方程.這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換.高斯消元法的基本思想是：通過一系列的加減消元運算，也就是代數(shù)中的加減消去法，將方程組化為上三角矩陣；然后，：例7 解線性方程組解 分別將第一個方程的(3)倍，(2)倍和2倍加到第二、三、四個方程上，整理得將此方程組第二個方程加到第四個方程上，使該方程兩邊全為零，并將第三個方程的兩邊乘以，得再將第三個方程的7倍加到第二個方程上，消去第二個方程中的未知量，整理得最后解得.小結(jié)：高斯（Gauss)消元法的思想比較簡單，操作起來比較容易，但它只適用于未知數(shù)較少的線性方程組；當(dāng)方程個數(shù)和未知數(shù)較多時，消元較為困難. 用克拉默（Cramer）法則解線性方程組定理1 如果方程組Ax=b中D=|A|≠0，則Ax=b有解，且解是唯一的，解為是D中第i列換成列矩陣b所得的行列式.定理2 如果方程組Ax=b中有非零解，那么必有D=|A|=0,Cramer法則解n元方程組有兩個前提條件：(1)未知數(shù)的個數(shù)等于方程的個數(shù).(2)系數(shù)行列式不等于零定理3[3] 當(dāng)齊次線性方程組，時該
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