【正文】 第三章 解線性方程組的直接方法 167。 1 解線性方程組的 Gauss 消去法 167。 2 直接三角分解法 167。 3 行列式和逆矩陣的計(jì)算 167。 4 向量和矩陣的范數(shù) 167。 5 Gauss 消去法的浮點(diǎn)舍入誤差分析 167。 1 解線性方程組的 Gauss 消去法 Gauss 消去法 Gauss 列主元消去法 Gauss 按比例列主元消去法 GaussJordan 消去法 矩陣方程的解法 Gauss 消去法的矩陣表示形式 167。 1 解線性方程組的 Gauss 消去法 在科技 、 工程 、 醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)等各個(gè)鄰域中 ， 經(jīng)常遇到求解 n階線性方程組 () 的問題 。 方程組 （ ） 的系數(shù) 和右端項(xiàng) 均為實(shí)數(shù) ， 且 不全為零 ． 方程組 （ ） 可簡(jiǎn)記為 （ ） 其中 ???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa. . ... . . . . . . . . .. . . . . . . . . .,. . .,. . .22112222212111212111), . . . ,2,1,( njia ij ? ),...,2,1( nib i ?,bAx ?nbbb ,..., 21....,...,2121212222111211???????????????????????????????????????nnnnnnnnbbbbxxxxaaaaaaaaaA167。 1 Gauss 消去法 P45 我們知道 ， 對(duì)線性方程組 （ ） 作行運(yùn)算 （ 變換 ） : （ 1） 交換方程組中任意兩個(gè)方程的順序； （ 2） 方程組中任何一個(gè)方程乘上某一個(gè)非零數(shù)； （ 3） 方程組中任何一個(gè)方程減去某倍數(shù)的另一個(gè)方程 ， 得到新的方程組都是與原方程組 ()等價(jià)的 。 若方程組 ()或 ()的系數(shù) 矩陣 A是非奇異的 ， 則得到的新方程組與原方程組是同解的 。 這一章若無特別 申明 ， 總是假定方程組 ()的系數(shù)矩陣是非奇異 ， 因此它有唯一解 。 解方程組 ()的基本 Gauss消去法 就是反復(fù)運(yùn)用上述運(yùn)算 ， 按自然順序 (主對(duì)角元素的順序 )逐次消去未知量 ， 將方程組 ()化為一個(gè)上三角形方程 組 ， 這個(gè)過程稱為 消元過程 ；然后逐一求解該上三角形方程組 ， 這個(gè)過程稱 為 回代過程 。 計(jì)算得該該上三角形方程組的解就是原方程組 ()的解 . 我們知道 ， 線性方程組 ()與其增廣矩陣 本章主要介紹求解線性方程組 ()的直接法。所謂直接法，就是不考慮計(jì)算過程的舍入誤差時(shí)，經(jīng)有限次數(shù)的運(yùn)算便可求得方程組準(zhǔn)確解的方法 .我們還將在 167。 5中對(duì)計(jì)算過程中的舍入誤差作一些初步分析． Gauss 消去法 （ ） 之間有一對(duì)應(yīng)關(guān)系 .不難看出 : （ 1）交換矩陣 ()的第 p,q兩行 (記作 )相當(dāng)于交換方程組 ()的第 p,q兩個(gè)方程； （ 2）用一個(gè)非零數(shù) λ 乘矩陣 ()的第 p行 (記作 )相當(dāng)于用 λ 乘方程組 ()的第 p個(gè)方程； （ 3）矩陣 ()的第 q行減去第 p行的 λ 倍 (記作 )相當(dāng)于方程組 ()的第 q個(gè)方程減去第 p個(gè)方程的 λ 倍 . 因此，解線性方程組 ()的基本 Gauss消去法的消元過程可以對(duì)它的增廣矩陣進(jìn)行上述行初等變換． 第三章 167。 1 P46 上 qp rr ?? ??????????????nnnnnnnbaaabaaabaaabA........................,22222221111211p??pq ??? ? () .7542,1774,3322321321321???????????xxxxxxxxx例 1 用基本 Gauss消去法解線性方程組 解 Gauss消去法的消元過程可對(duì)方程組 ()的增廣矩陣進(jìn)行初等變換：由 此得到與方程組 ()同解的上三角形方程組 () 消去法的回代過程是解上三角形方程組 ().我們從方程組 ()的第三個(gè)方 程解得 然后將它代入第二個(gè)方程得到 最后 ， 將 代第一個(gè)方程得到 在回代過程中 ， 我們反復(fù)運(yùn)用了上述的行運(yùn)算 （ 2） ． ? ?.22/)323(2,1。23/)5(。16/6.66,53,3322660051303322486051303322754217743322,321233233323212)1(2231312??????????????????????????????????????? ????????????????? ???????????????????xxxxxxxxxxxxxxbA?????? 第三章 167。 1 P46 下 第三章 167。 1 P47 第一步 現(xiàn)在，我們將應(yīng)用于上述例 1的基本 Gauss消去法推廣到解一般的 n n 階線性方程組 (). Gauss消去法的消元過程由 n— 1步組成： ? ?? ?.,...,20,...,2,)(,...0...............0...,.,...,2,...,011)1()1(11)1()1()1()1(2)1(2)1(2)1(221111111)1()1(111111312111niblbbanjalaabaabaabaaabAlbAniaalaaaaiiiijijijijnnnnniiin???????????????????????????? 第一步 設(shè) 把增廣矩陣 ()的第一列中元素 消為零．為此， 令 從 的第 i(i— 2， … ， n)行分別減去第一行的 倍，得到 其中 第三章 167。 1 P47 第二步 ? ?? ?? ?)1()1(,1)1()1()1()1()1()1(1,)1()1(1)1(,1)1(1,1)1(,1)1()1()1(1,)1()1(2)1(2)1(1,2)1(2)1(22111,111211)1()1()1(2)1(32)1()1()1(22,...,0)(..................................,...,0??????????????????????????????????????????????????????knkkkkkkkkkknknnkknknkkkknkkkkkkkkkkknkkkkkknkknkkkknaabAabaaabaaabaaabaaaabaaaaabAaabAa 第二步 設(shè) 把矩陣 的第二列中元素 消為零 . 仿此繼續(xù)進(jìn)行消元，假設(shè)進(jìn)行了 k— l步，得到 第 k步 設(shè) 把 的第 k列的元素 消為零，得到 第三章 167。 1 P48 上 其中 規(guī)定 ? ?.,...,2,1,)(.,...,1,...,1,0,/)(..................................,)0()0()1()1()1()1()()()1()1()1()1()1(1,)1()1(1)1(,1)1(1,1)1(,1)1()1()1(1,)1()1(2)1(2)1(1,2)1(2)1(22111,111211)1()1(njibbaankiblbbnkjalaaaaalbaaabaaabaaabaaaabaaaaabAiiijijkkikkikikkjikkijkijkikkkkkikikknknnkknknkkkknkkkkkkkkkkknkkkkkknkknkkkk???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 第三章 167。 1 P48 下 ()式是消元過程的一般計(jì)算公式 .式中作分母的元素 稱為 (第 k 步的 )主元素 (簡(jiǎn)稱 主元 ).若 則 中至少有一 個(gè)元素，比方說 不為零 (否則 ,方程組 ()的系數(shù)矩陣 A奇異 ).這樣 , 我們可取 作為主元 .然后 ,交換矩陣 的第 k行與第 r行 ,把它交換到 (k,k)的位置上 . 稱為 乘子 . )1( ?kkka,0)1( ??kkka )1()1( ,1 , . . . , ??? knkk kk aa,)1( ?krka,)1( ?krka ? ?)1()1( , ?? kk bA),..,1( nkilik ?? 進(jìn)行 n— 1步消元后，我們便得到一個(gè)上梯形矩陣