【正文】 順序計(jì)算系數(shù) β1 β2…… βn1和y1y2…… yn。 ?“趕”的過程：（回代過程） 按逆序求出 xnxn1?? x2x1。 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ????????????????????nnnnnnnfbafcbafcbafcb11112222111???????????????????????nnnnnnnfbafcbafcbay11112222111????? β1 = c1/ b1 y1 = f1 / b1 其系數(shù)增廣矩陣為： 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? βi = ci / ( bi – ai βi – 1) , ( i = 2, 3, …, n 1) ? yi = ( fi – ai yi – 1) / ( bi – aiβi – 1) , ( i = 2, 3, …, n) ??????????????????nnnyyyy1111112211??????《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 例： 用追趕法求上例三對(duì)角方程組 ?????????????????????????????????????????????101653242231124321xxxx??????????????????15302421231612解： 其系數(shù)增廣矩陣為 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ??????????????????15302421231612《 追趕法求解 》 ????????????????????153024212313211?????????????????????1530242422503211主元單位化 消元 主元單位化 ?????????????????????15302425854103211《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ?????????????????????15302425854103211消元 ??????????????????????153516251205854103211主元單位化 ??????????????????????1533465105854103211消元 ???????????????????????561503465105854103211《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 主元單位化 ?????????????????????2103465105854103211???????????????????????561503465105854103211回代可得 ?????????????2345x《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 向量和矩陣的范數(shù) ? 向量的范數(shù) ? 矩陣的范數(shù) ? 譜半徑、譜范數(shù)與方陣的 F－范數(shù) 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 定義 設(shè)向量 X?Rn ,若 X 的某個(gè) 非負(fù)實(shí)值函數(shù)N(X)=||X||滿足條件： ?（ 1） 非負(fù)性 ： ||X||?0且 ||X||=0的充要條件是 X=0； ?（ 2） 齊次性 ： ||kX||=|k| ||X||（ ?k ? R）； ?（ 3） 三角不等式 ：對(duì) ?X,Y?Rn , 有 ||X+Y||?||X||+||Y||； 則稱 N(X)=||X||為 Rn 上的 向量 X的范數(shù) 。 向量的范數(shù) 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 定義 設(shè) X= (x1 , x2 ,…, xn)T ?Rn ,則定義： 222212 nxxxX ???? ?（ 1）向量的“ 2－范數(shù)”： （ 2）向量的“ ?－范數(shù)”： ? ?ini xX ??? ? 1m a x（ 3）向量的“ 1－范數(shù)”： （ 4）向量的“ p－范數(shù)”： ???niixX11pnipip xX11????????? ??《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 例： 計(jì)算向量 X=(1,0,1,2)T的三種常用范數(shù)。 421011 ??????X解： 62)1(01 22222 ??????X? ? 22,1,0,1m a x ????X《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 定理 （范數(shù)的等價(jià)性）對(duì)任何向量 x?Rn ,有 212 XnXX ???? ?? XnXX 1?? ?? XnXX 2|||||||||| 211 nxxxx ???? ?證明（ 2） : ||m ax||||||m ax111 knkknkxnxx????????? ?? |||||||||||| 1 xnxx所以 （ 1） （ 2） （ 3） 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 向量序列的收斂性： 0l i m )( ????kkXX?定義： 在 Rn中的一個(gè)向量序列 X(1)， X(2)， …… ，X(k)， …… 稱為收斂于一個(gè)向量 X，當(dāng)且僅當(dāng) 或 設(shè) {X(k) }為 Rn中的一向量序列， X*?Rn ，記 X (k)=(x1(k),x2(k),…, xn(k))T， X*=（ x1*,x2*,…, xn*)T，若 *)(li mikik xx ???i=1,2,……, n 則稱 X(k)收斂于向量 X*，記為 *lim )( XX kk???《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 定義 設(shè)矩陣 A?Rn n ,若 A的某個(gè) 非負(fù)實(shí)值函數(shù) N(A)=||A||滿足條件： ?（ 1） 非負(fù)性 ： ||A||?0且 ||A||=0的充要條件是 A=0； ?（ 2） 齊次性 ： ||kA||=|k| ||A||（ ?k ? R）； ?（ 3） 三角不等式 ：對(duì) ? A,B?Rn n , 有 ||A+B||?||A||+||B||； ?（ 4） 相容性 ： ||AB||?||A|| ||B||； 則稱 N(A)=||A||為 Rn n 上的 矩陣 A的范數(shù) 。 矩陣的范數(shù) 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 定義 設(shè)向量 X?Rn，矩陣 A?Rn n ，且給定一種向量范數(shù) ||X||p ，則定義 (p=1,2,?) 為矩陣 A的范數(shù)，并稱為 A的 算子范數(shù) 。 ppxp XAXA0m a x??定義 對(duì)于給定的向量范數(shù)和矩陣范數(shù)，如果對(duì)任一個(gè)向量 X?Rn和任一個(gè)矩陣 A?Rn n 都有不等式 ||AX||?||A|| ||X||成立，則稱所給矩陣范數(shù)與向量范數(shù)是相容的。 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)的關(guān)系： 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ?????niijnj aA111 m a x)m a x (2 AAA T????????njijni aA11m a x? 定理 設(shè)矩陣 A?Rn n ,A=(aij )n n ,則 （ 1） －列范數(shù) （ 2） （ 3） －行范數(shù) 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 譜半徑、譜范數(shù)與方陣的 F－范數(shù) 定義 設(shè) n階方陣 A的特征值為 ?1 ,?2 ,…, ?n ，則 稱 iniA ?? ??? 1m a x)(AA ?)(?定理 （特征值上界）設(shè) A?Rn n ,則 為 A的 譜半徑 。（ | ?i |是 ?i的模） 即 A的譜半徑不超過 A的任何一種算子范數(shù) 。 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 定義 設(shè) A=(aij )n n ?Rn n ，則稱 )(2 AA ??21121??????? ????njijniFaA為 A的 Frobenius范數(shù)，簡稱 F－范數(shù) 。 定理 若 A?R n n 為對(duì)稱陣，則 故 ||A||2又稱為 譜范數(shù) 。 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 誤差分析 ? 結(jié)論： （ 1）的常數(shù)項(xiàng) b的第二個(gè)分量只有 1/1000的微小變化，方程組的解變化卻很大。 ???????????????????22000 1121xx???????????????????21121xx例 記方程組（ 1） 為 Ax＝ b，其精確解為： x1*=2， x2*=0 現(xiàn)考察方程組（ 2） 可將其表示為： A(x+?x)=b+?b 其中 ?b= (0,)T 設(shè) x為 (1)的解，顯然 (2)的解為： x+?x= (1, 1)T 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 設(shè) Ax＝ b的擾動(dòng)方程組為 (A+ ?A)(x+?x)=b+?b，其中 ?A叫 A的 擾動(dòng)矩陣 ， ?x和 ?b叫 x和 b的 擾動(dòng)向量 。 定義 若矩陣 A或常數(shù)項(xiàng) b的微小變化引起方程組 Ax＝ b的解的巨大變化，則稱此方程組為 病態(tài)方程組 ， A為 病態(tài)矩陣 （相對(duì)方程組而言）；否則稱方程組為 良態(tài)方程組 ， A為 良態(tài)矩陣 。 研究方程組中 A或 b的微小誤差對(duì)解的影響的分析稱“ 擾動(dòng)分析 ”。 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)