【正文】 ???????????????????22000 1121xx???????????????????21121xx例 記方程組（ 1） 為 Ax＝ b，其精確解為： x1*=2， x2*=0 現(xiàn)考察方程組（ 2） 可將其表示為： A(x+?x)=b+?b 其中 ?b= (0,)T 設(shè) x為 (1)的解，顯然 (2)的解為： x+?x= (1, 1)T 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 設(shè) Ax＝ b的擾動方程組為 (A+ ?A)(x+?x)=b+?b，其中 ?A叫 A的 擾動矩陣 ， ?x和 ?b叫 x和 b的 擾動向量 。 421011 ??????X解： 62)1(01 22222 ??????X? ? 22,1,0,1m a x ????X《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 定理 （范數(shù)的等價性）對任何向量 x?Rn ,有 212 XnXX ???? ?? XnXX 1?? ?? XnXX 2|||||||||| 211 nxxxx ???? ?證明（ 2） : ||m ax||||||m ax111 knkknkxnxx????????? ?? |||||||||||| 1 xnxx所以 （ 1） （ 2） （ 3） 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 向量序列的收斂性： 0l i m )( ????kkXX?定義： 在 Rn中的一個向量序列 X(1)， X(2)， …… ，X(k)， …… 稱為收斂于一個向量 X，當(dāng)且僅當(dāng) 或 設(shè) {X(k) }為 Rn中的一向量序列， X*?Rn ，記 X (k)=(x1(k),x2(k),…, xn(k))T， X*=（ x1*,x2*,…, xn*)T，若 *)(li mikik xx ???i=1,2,……, n 則稱 X(k)收斂于向量 X*，記為 *lim )( XX kk???《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 定義 設(shè)矩陣 A?Rn n ,若 A的某個 非負(fù)實值函數(shù) N(A)=||A||滿足條件： ?（ 1） 非負(fù)性 ： ||A||?0且 ||A||=0的充要條件是 A=0； ?（ 2） 齊次性 ： ||kA||=|k| ||A||（ ?k ? R）； ?（ 3） 三角不等式 ：對 ? A,B?Rn n , 有 ||A+B||?||A||+||B||； ?（ 4） 相容性 ： ||AB||?||A|| ||B||； 則稱 N(A)=||A||為 Rn n 上的 矩陣 A的范數(shù) 。 ULy《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 例： 用緊湊格式的 Doolittle分解法解上例方程組 解： ???????????????4535251544434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaA??????????????????????72510139144432113124330102??????????????????????????????????????????????????725101391444321131243301024321xxxx《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 22 10 0 3 103 1711 12 2022133 4 22 1162 9 13 711k ??????????????? ? ???????????????????????????????????????164911621117112113113212021712112310301024kULy?????????????????????72510139144432113124330102??????????????????????????71391422432215131242310301021k???????????????????????????????713911621117112113113212021712112310301023k《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ??????????????????????????????44911623112113113212217121123130102yUx解x??????????????????????????????43214321xxxxx所以 ????????????????????????????????164911621117112113113212021712112310301024kULy《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ????????????????????????????????111211221222111???????nnnnnnuuullllllULAnrriulalrkkrikirir ,1,11????? ???nrrjlulaurkrrkjrkrjrj ,2,1,/)(11?????? ???計算公式： 二、 Crout分解法： 將矩陣 A分解為如下形式： 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 例 ： 求矩陣 A的 Crout分解： ??????????????303021112A)21()1(222 ?????l )21(3032 ????l )23/()]21()1(0[23 ?????u)]31()23()21(33[33 ???????l?????????????????????????1003/1102/12/1152/3302/31002A所以 ??????????????52/333/12/312/12/12《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 若 n階實矩陣 A為對稱正定矩陣，則： ?（ 1） AT＝ A； ?（ 2）對任意的 X≠0，有 XTAX0； ?（ 3） A的各階順序主子式大于零。 , m21u1n+ u2n=a2n m21=a21/u11, A （因 P2 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 設(shè) Ax＝ b的增廣矩陣為 ????????????nnnnnnnbaaabaaabaaa????????21222221111211在 A的第一列中選絕對值最大的元素作主元，設(shè)該元素所在行為第 i1行，交換第一行與第 i1行，進(jìn)行第一次消元；再在第 2－ n行的第二列中選絕對值最大的元素作主元，設(shè)該元素所在行為第 i2行，交換第二行與第 i2行，進(jìn)行第二次消元， …… 直到消元過程完成為止。 213 1 3 21 2 31111n n nmL m mm m m???????????由 Gauss消元過程可推得 U即為 Gauss消元后所得的上三角方程的系數(shù)矩陣。 ?用 m42乘矩陣第二行后加到矩陣第四行 。 ?但 Cramer法則只適用于低階方程組，高階方程組工作量太大，故一般用數(shù)值方法求解。 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 其算法設(shè)計如下： （ 1） 輸入系數(shù)矩陣 A和右端向量 b； （ 2）計算系數(shù)矩陣 A的行列式值 D，如果 D=0，則輸出錯誤信息，結(jié)束，否則進(jìn)行第 (3)步； （ 3） 對 k=1,2,數(shù)值方法分兩類： ?1. 直接法 ?2. 迭代法 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 Gauss消元法 ? 第二步 : 回代過程 ， 解上三角形方程組，得原方程組的解。 其系數(shù)增廣矩陣變?yōu)椋? 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ???????????????)()()()()()()()()()(3434423234233121241231221141312113babaabaaabaaaaA)0( )2(33 ?a第三輪消元： ?計算 : m43=a43(2)/a33(2) ?用 m43乘矩陣第三行后加到矩陣第四行 。,n1)的充分必要條件是矩陣 A的各階順序主子式不為零。 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 例 對矩陣 1 1 10 4 12 2 1A?????????????作 LU分解。 Gauss列主元素消元法的基本思想： 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 例： 用列主元法解 ??????????????????????????????????6745150710623321xxx?????????????6515707104623?????????????6515462370710?解 ：第一列中絕對值最大是 10，取 10為主元 《 計算方法 》 第三章