齊次線性方程組有非零解的條件-資料下載頁(yè)
2025-07-17 13:23本頁(yè)面
【正文】 次線性方程組的一個(gè)解 （稱為特解） , 是 對(duì)應(yīng)齊次線性方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系。結(jié)論：結(jié)論： 例例 求解線性方程組求解線性方程組解解 對(duì)其增廣矩陣對(duì)其增廣矩陣 B作初等行變換：作初等行變換：由于由于 R（（ A）） =2，而，而 R（（ B）） =3，則線性方程組，則線性方程組 無(wú)解無(wú)解 。 例例 求解線性方程組求解線性方程組解解 對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣 B作初等行變換：作初等行變換：可見(jiàn)可見(jiàn) R(A)=R(B)=2,則線性方程組有則線性方程組有 解解其同解方程組為其同解方程組為取取 為自由未知量為自由未知量即得通解即得通解 是任意實(shí)數(shù)是任意實(shí)數(shù)基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系特解特解有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多個(gè)解？有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多個(gè)解？并求其唯一解和通解。并求其唯一解和通解。例例 3 問(wèn)問(wèn) a， b為何值時(shí)，線性方程組為何值時(shí)，線性方程組解法一解法一解法二解法二解法一解法一 (一般解法一般解法 ):對(duì)其增廣矩陣進(jìn)行初等行變換對(duì)其增廣矩陣進(jìn)行初等行變換 1）當(dāng) a≠1時(shí)， R(A)=R(B)=4，這時(shí)原方程組有 唯一解 為為 (i) 若若 b≠－－ 1， R(B)=3≠R(A)，這時(shí)方程組，這時(shí)方程組 無(wú)解無(wú)解 。 (ii)若若 b=－－ 1， R(B)=2=R(A)，這時(shí)方程組有，這時(shí)方程組有 無(wú)窮多個(gè)解。無(wú)窮多個(gè)解。 2）當(dāng)）當(dāng) a=1， R（（ A）） =2。 與原方程組同解的方程組為：與原方程組同解的方程組為：則方程組的通解為：則方程組的通解為：例例 4 設(shè)設(shè) A為為 n階矩陣，階矩陣， 證明證明 R（（ A）） =R（（ A?A）。）。由于若由于若 AX=0，有，有 A?AX=0，這說(shuō)明，這說(shuō)明 凡是凡是 AX=0的解的解 必為必為 A?AX=0的解的解 。證明：證明：另一方面，若另一方面，若則則故故 A?AX=0與與 AX=0的同解。的同解。AX=0因此因此這說(shuō)明這說(shuō)明 凡是凡是 A?AX=0的解必為的解必為 AX=0的解的解 。兩兩 齊次線性方程組同解齊次線性方程組同解 ，意味著它們的，意味著它們的 基礎(chǔ)解系包含的基礎(chǔ)解系包含的向量個(gè)數(shù)相等向量個(gè)數(shù)相等 ，亦即有：，亦即有： n－ R(A)=n－ R(A?A)所以所以 R(A)=R(A?A).例例 5 已知齊次線性方程組已知齊次線性方程組 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為的一個(gè)基礎(chǔ)解系為試寫出線性方程組試寫出線性方程組的通解，并說(shuō)明理由。的通解，并說(shuō)明理由。解解 我們記線性方程組我們記線性方程組 (1)(2)的系數(shù)矩陣分別為的系數(shù)矩陣分別為 A， B， 由于由于為（為（ 1）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，）的一個(gè)基礎(chǔ)解系， 則矩陣則矩陣 A， B的秩都為的秩都為 n，并且并且 從而從而從而從而 A的的 n個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成了（個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成了（ 2）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是（于是（ 2）的通解為）的通解為 其中可 k1， k2， … kn為任意實(shí)數(shù)。例例 6 設(shè)設(shè) 是非齊次線性方程組是非齊次線性方程組 Ax=b的一個(gè)解，的一個(gè)解， 是是 其對(duì)應(yīng)齊次線性方程組其對(duì)應(yīng)齊次線性方程組 Ax=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明 是非齊次線性方程組的是非齊次線性方程組的 nr+1 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，并且非齊次線性方程組的任意解向量并且非齊次線性方程組的任意解向量 ηη 可表為：可表為： 其中其中證證 顯然顯然 是非是非齊次線性方程組的齊次線性方程組的 n－－ r＋＋ 1個(gè)解向量，個(gè)解向量，先證其先證其 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān) 。假定。假定 那么有那么有則則 η*是是 的的 線性組合線性組合 ，因此，因此， η*是是 齊次線性齊次線性方程組的解向量方程組的解向量 ，這與假設(shè)，這與假設(shè) 矛盾矛盾若若所以所以 ，故故 又因?yàn)橛忠驗(yàn)槭瞧鋵?duì)應(yīng)齊次線性方程組是其對(duì)應(yīng)齊次線性方程組 Ax=0的一個(gè)的一個(gè) 基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系因此因此 線性無(wú)關(guān)得證線性無(wú)關(guān)得證此例說(shuō)明，非齊次線性方程組的任意解向量可用該方程組自身此例說(shuō)明，非齊次線性方程組的任意解向量可用該方程組自身的的 n－－ r＋＋ 1個(gè)解向量的線性組合來(lái)表示，但其組合個(gè)解向量的線性組合來(lái)表示，但其組合 系數(shù)必等于系數(shù)必等于 1。這是非齊次線性方程組的任意解向量的這是非齊次線性方程組的任意解向量的 另一種另一種 表示方式。表示方式。再證非其次線性方程組再證非其次線性方程組 任意任意 解向量解向量 η的表示的表示因?yàn)橐驗(yàn)?ηη*是齊次線性方程組的解向量是齊次線性方程組的解向量 ,是其對(duì)應(yīng)齊次線性方程組是其對(duì)應(yīng)齊次線性方程組 Ax=0的一個(gè)的一個(gè) 基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系那么有那么有即即其中其中即
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