[理學(xué)]第三章解線性方程組的迭代法(編輯修改稿)
2024-11-12 21:26 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (1 ??? ??? knkk xxx ?)1( ?kix)1( 1)1(2)1(1 , ???? kikk xxx ?ni ,2,1 ?? ,11)(11)1()1(???????? ??? ????????nijkjijijkjijiiiki xaxabax? GaussSeidel迭代法 19 ? GaussSeidel迭代法的矩陣表示 ? 設(shè)將系數(shù)矩陣 A 分裂為 ,UDLA ????其中 D為對(duì)角陣 , L 和 U分別為嚴(yán)格下三角和嚴(yán)格上三角陣 . bLDUxLDx kk 1)(1)1( )()( ??? ????gMxbLDUxLDxbUxxLD b U ) xDL(Ax????????????????? 11 )()()(U LDM 1)( ???? 迭代矩陣 Gauss— Seidel迭代公式 20 例 用 GaussSeidel迭代法求解線性方程組 ????????????????4258321072210321321321xxxxxxxxx解 將方程組改寫成如下等價(jià)形式 ??????????????213312321xxxxxxxxx21 GaussSeidel迭代法計(jì)算公式為 ????????????????????)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx假設(shè)初始向量取 x(0)=(0, 0, 0)T. 第一次迭代 )1(1 ?x)1(2 ????x6 4 )2(3 ??????x22 第二次迭代 4 3 0 4 )2(1 ??????x6 7 1 4 3 0 )2(2 ??????x8 2 0 7 1 3 0 )2(3 ??????xGaussSeidel迭代法計(jì)算公式為 ????????????????????)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx假設(shè)初始向量取 x(0)=(0, 0, 0)T. 23 ? Jacobi迭代法： ???????????)1()1(2)1(1)(knkkkxxxx?已知x(k+1)分量的計(jì)算可以 同時(shí) 進(jìn)行，無先后次序 ? GaussSeidel迭代法： ????? ?????? ?? ?)1()1()1(2)1(1)(???? ????kxknkkk xxxx已知x(k+1)分量的計(jì)算有 先后次序 ，必須先計(jì)算 x(k+1)前面的分量然后再計(jì)算下一分量 . 24 ? Jacobi迭代法與 GaussSeidel迭代法的計(jì)算效果哪一種更好？ ? 前例計(jì)算結(jié)果表明 , 用 GaussSeidel迭代法比用Jacobi迭代法效果好 . ? 但對(duì)一般情形 , 有些問題 GaussSeidel迭代法確實(shí)比 Jacobi迭代法收斂得快 , 但也有 GaussSeidel迭代法比 Jacobi迭代法收斂得慢 , 甚至還有 Jacobi迭代法收斂 , 但 GaussSeidel迭代法發(fā)散的情形 . 25 ? 迭代法的收斂條件 ||m ax)( 1 iniA ?? ???定義 (譜半徑 ) 設(shè) n階方陣 A的特征值為 ?i (i=1,2,…, n)，則稱 為矩陣 A的 譜半徑 . ? Ak 的特征值為 knkk ??? , 21 ?故 ? ? kkinikinik AA )(||m ax||m ax)( 11 ???? ??? ????26 ||||)( AA ??iii uAu ??? 矩陣范數(shù)和譜半徑有如下關(guān)系 設(shè) A的任一特征值為 ?i , 對(duì)應(yīng)的特征向量為 ui , 則 |||||||||||||||||||||| iiiiii uAAuuu ????? ??|||||| Ai ??由 ?的任意性可知結(jié)論成立 . ? 矩陣 A的譜半徑不超過它的任何一種由向量范數(shù)誘導(dǎo)出的范數(shù)，即 ||A||是 A的特征值的上界 . 證 故 從而 27 )()(||||)1 m a x2 AAAAA TT ?? ??)(||||)2 2 AAA ??為對(duì)稱矩陣，則若? 設(shè) A為 n階方陣 ，則 ? 由于 2范數(shù)具有上面的關(guān)系式，所以
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