常系數(shù)線性方程組基解矩陣的計(jì)算(編輯修改稿)
2025-07-20 07:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ）T .★的基本問題定理1：矩陣（t）=t （） 是★的基解矩陣，且（0）=E. 證明：由定義易知（0）=E，將（）對(duì)t求導(dǎo)，得（t）==A+t++…++… =At = A（t）這就表明，（t）是★的解矩陣，又（0）==1 因此（t）是★的解矩陣. 證畢.注1：由定理1，我們可以利用這個(gè)基解矩陣推知★的任一解 （t）=（t）C 這里C打、是一個(gè)常數(shù)向量.例1：如果A是一個(gè)對(duì)角矩陣A= （其中未寫出的元均為零） 試找出=Ax 的基解矩陣.解：由（）可得 t=E++++…=根據(jù)定理1，這就是一個(gè)基解矩陣.例2：試求=x的基解矩陣.解：因?yàn)锳==+ 而且后面的兩個(gè)矩陣是可交換的，得到=exptexpt=但是=所以 級(jí)數(shù)只要兩項(xiàng)，因此 基解矩陣是t= .二．基解矩陣的計(jì)算類似于一階齊次線性微分方程，希望方程組★有形如的解，其中為待定的參數(shù)，C為待定的n維非零向量，將之代入方程組，得到 ，即有 （）要使齊次線性代數(shù)方程組（）有非零解向量，應(yīng)有 （）稱式（）為方程組★的特征方程，.于是有如下結(jié)論:為方程組★的充分必要條件是為A的特征值，且C為對(duì)應(yīng)于的特征向量.這樣就提供了用代數(shù)方法求解的平臺(tái).（1） 設(shè)A具有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為（不必各不相同）易知矩陣 是常系數(shù)齊次線性微分方程組★的一個(gè)基解矩陣. 事實(shí)上，由上面討論知道向量函數(shù)（1≤≤n） 都是方程組★的一個(gè)解，因此是方程★ 于是是方程組★的基解矩陣.注2：當(dāng)A是n個(gè)不同的特征值時(shí)，就滿足上述性質(zhì).注3：此處不一定是標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣t，但由線性微分方程組的一般理論知：存在一個(gè)n個(gè)非奇異矩陣C，有= 令t=0，得C= 即t=于是當(dāng)A是實(shí)矩陣時(shí)，則t為實(shí)的，這樣上式就給出了一個(gè)構(gòu)造實(shí)基解矩陣的方法.例3：利用特征值與特征向量求基解矩陣的方法，求解例1中
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