線性方程組的求解方法與應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-05-05 02:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 證畢 基礎(chǔ)解系及其存在性（1）如果滿足；.那么這組解就稱為齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.（2）在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含 有的解的個數(shù)等于，這里表示的是系數(shù)矩陣的秩. 一般線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（1）線性方程組的兩個解的差是它的導出組的解；（2）線性方程組的一個解與它的導出組的一個解之和還是這個線性方程組的一個解；（3）在方程組有解的情況下，解是唯一的充要條件是它的導出組只有零解. 3 線性方程組的求解方法 求消元法求解線性方程組 解：下面對這三個方程進行加減運算從而達到消元的目的.第二個方程減去第一個方程的2倍，得,第三個方程減去第一個方程得,將第一個方程、第四個方程、第五個方程綜合起來就得到一個新的方程組 再分別對這個方程組中的第二個和第三個方程進行加減運算，即第二個方程減去第三個方程的2倍就可以得到可以解出從而原方程組的解為（9，1，6）.一般消元法用來計算一些比較簡單的線性方程組，是最簡單最直接最有效的方法，它的基本思想就是將方程進行加減和代入運算，要轉(zhuǎn)換成矩陣的行初等變換來求解. 克拉默法則 克拉默法則求解具備的條件 利用克拉默法則求解線性方程組時需要具備兩個條件：（1）線性方程組的方程個數(shù)必須與未知量的個數(shù)相等；（2）線性方程組的系數(shù)行列式不等于零. 克拉默法則設(shè)含有n個未知數(shù)的線性方程組的系數(shù)行列式 （）則該線性方程組有解，且只有唯一解，其解可以表示為 （）其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即 （）定理中包含著三個結(jié)論：方程組有解；解是唯一的；解由公式()給出.下面來證明一下克拉默法則：證明： . （）首先需要證明（）是（）的解. 將（）代入到第i個方程，那么左端就為 . （）由于 .故有 = =.這就與第i個方程的右邊是一致的，故（）是該線性方程組的解.2. 假設(shè)是該線性方程組的一個解，那么就有那個恒等式 . （） 下面證明，不妨取矩陣中第k列元素的代數(shù)余子式，再用他們乘上面這n個恒等式，就可以得到 .將它們加起來，就可得 . （）再來看（）的左邊， =.已知 故有 就可得 即方程組的一個解為，它必為 故方程組最多有一組解. 證畢 用克拉默法則解線性方程組：解：該線性方程組的系數(shù)行列式為，，，從而該線性方程組的唯一解為 . （）克拉默法則只適用于系數(shù)行列式不等于0的線性方程組，那么對于系數(shù)行列式為0的情況就不能用克拉默法則解題了，克拉默法則主要在于理論上的應(yīng)用. 如果齊次線性方程組 （）的系數(shù)矩陣的行列式，那么它只有零解. 即，如果該齊次線性方程組有非零解，那么必然有.：證：對該齊次線性方程組應(yīng)用克拉默法則，因為行列式中有一列全為零，則有 （）故它的唯一解為.. 求在什么條件下，方程組有非零解.解:，若該齊次線性方程組有非零解，那么系數(shù)矩陣的行列式 故.可以驗證當時，該齊次線性方程組確有非零解.克拉默法則在計算一些基本的線性方程組是可行的，但是對于個未知量 個方程的線性方程組就必須得計算個級行列式，相對而言計算量非常大. 分解法分解法，又稱三角形分解法，是求解線性
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