線性方程組的解法(編輯修改稿)
2025-09-03 11:23 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )0(3)0(2)0(1xxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????15/1310/89/7135/21350/109/190/109/19/1015/1310/89/700010/1009/19/10115/1150/110110/100115/1310/89/700010/1009/19/10115/115/10110/1001)(3)(2)(1)(3)(2)(1)(3)(2)(1)1(3)1(2)1(1kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxJacobi迭代算法 A=[9 1 1。1 10 1。1 1 15]。 b=[7。8。13]。x=[0。0。0]。 er=1。k=0。 while er er=0。k=k+1。 for i=1:3 s=0。t=x(i)。x(i)=0。 for j=1:3 s=s+A(i,j)*x(j)。 end x(i)=t。 y(i)=(b(i)s)/A(i,i)。 er=max(abs(x(i)y(i)),er)。 end x=y。x39。 end ????????????????131581079321321321xxxxxxxxx GaussSeidel迭代算法 ????????????????131581079321321321xxxxxxxxxA=[9 1 1。1 10 1。1 1 15]。 b=[7。8。13]。x=[0。0。0]。 er=1。k=0。 while er er=0。k=k+1。 for i=1:3 s=0。t=x(i)。x(i)=0。 for j=1:3 s=s+A(i,j)*x(j)。 end x(i)=(b(i)s)/A(i,i)。 er=max(abs(x(i)t),er)。 end x39。 end 從計(jì)算結(jié)果可以明顯看出， GaussSeidel迭代法比 Jacobi迭代法效果好。 一般而言， GaussSeidel迭代法收斂速度比Jacobi迭代法快，但這兩種迭代法的收斂范圍并不完全重合，而只是部分相交，有的時(shí)候Jacobi迭代法可能比 GaussSeidel迭代法收斂速度更快。甚至可以舉出 Jacobi迭代法收斂而GaussSeidel迭代法發(fā)散的例子。 GaussSeidel迭代法和 Jacobi迭代法的異同： Jacobi迭代法：公式簡(jiǎn)單，每次只需做矩陣和向量的 一次乘法；特別適合于并行計(jì)算； 不足之處：需存放 X(k)和 X(k+1)兩個(gè)存儲(chǔ)空間。 GaussSeidel迭代法：只需一個(gè)向量存儲(chǔ)空間，一旦計(jì)算出了 xj(k+1)立即存入 xj(k)的位置，可節(jié)約一套存儲(chǔ)單元 ；有時(shí)起到加速收斂的作用。 是一種典型的串行算法，每次迭代中必須依次計(jì)算解的各個(gè)分量。 超松馳 (SOR)迭代法 超松馳迭代法是迭代方法的一種加速方法，其計(jì)算公式 簡(jiǎn)單，但需要選擇合適的松馳因子，以保證迭代過(guò)程有較快的收斂速度。 設(shè)有方程組 AX = b 其中 A＝ (aij)n為非奇異矩陣， X=(x1, x2, , xn)T, b=(b1, b2, , bn)T，記 X(k)為第 k步迭代近似值，則 r(k) = b－ AX(k） 表示近似解 X(k)的殘余誤差，引進(jìn)如下形式的加速迭代公式 X(k+1)＝ X(k)+w(b－
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