常系數(shù)非齊次線性微分方程(編輯修改稿)
2025-05-26 06:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2*y ax bx c? ? ?求導： *2y ax b? ?? *2ya?? ?四川大學數(shù)學學院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 2*y ax bx c? ? ?*2y ax b? ?? *2ya?? ?代入原方程： 2a 2a x b x c? ? ?223x??2 ( 2 )ax bx a c? ? ?223x??比較兩端同次冪的系數(shù)，得 2,a ? 0,b ? 2 3 ,ac?? 7c ??223y y x?? ? ? ?四川大學數(shù)學學院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 2*y ax bx c? ? ?2,a ? 0,b ? 7c ??2* 2 7yx??通解： *y Y y??12c o s s i nC x C x??12c o s s i nY C x C x??227x??四川大學數(shù)學學院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 212c o s s i n 2 7y C x C x x? ? ? ?四川大學數(shù)學學院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 12c o s s i nY C x C x??四川大學數(shù)學學院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 例 求通解： 23 xy y y e ??? ?? ? ?解 特征方程： 2 2 3 0rr? ? ?特征根： 1 3,r ?對應(yīng)齊次方程的通解： 312xxY C e C e ???λ = 1 因為 λ = 1是特征單根，設(shè)特解： x()Q x a x?2 1r ??xaxe ??()Q x a? ? ( ) 0Qx?? ?* xy ae ??四川大學數(shù)學學院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 ()Q x a x? ()Q x a? ? ( ) 0Qx?? ?代入公式 (3): 23 xy y y e ??? ?? ? ?0 ( 2 2 ) a? ? ? 0ax? 4a??14a ??* xy axe ??1*4xy x e ?? ? ?通解： y 312xxC e C e ???14xxe ??2( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )mQ x p Q x p q Q x P x? ? ??? ?? ? ? ? ? ?1?四川大學數(shù)學學院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 312xxy C e C e ???14xxe ??四川大學數(shù)學學院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 312xxy C e C e ???四川大學數(shù)學學院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 例 求通解： 2 ( 1 ) xy y y x e?? ?? ? ? ?解 特征方程： 2 2 1 0rr? ? ?特征根： 1r ?對應(yīng)齊次方程的通解： 12() xY C C x e??λ = 1 因為 λ = 1是特征重根，設(shè)特解： 2x2( ) 3 2Q x ax bx? ??( ) 6 2Q x a x b?? ??二重根 32() xax bx e??32()Q x
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