【正文】 ???????????????????725101391444321131243301024321xxxx解 : 由 Doolittle分解 ? ?14131211 uuuu? ?Tmmm 4131211? ?30102 ??? ? ??? ?2423220 uuu ? ? ?? ????? 11kr rjkrkjkjumau? ?343300 uu?????? ??? 11211300? ?Tm 43100 ? ?T9100 ??? ?44000 u ? ?4000 ??? ?Tyyyy 4321 ? ?T1611/172022 ???? ?Txxxx 4321nnnn uyx ?iinirririi uxuyx????? 1? ?T4321?? ?Tmm 423210 T?????? ???11611310kkkrrkirikik uumam?????11解 Ly＝ b，得 解 Ux＝ y，得 ????? 11irririi ymby11 by ?? 直接三角分解的 Doolittle方法可用以下過程表示： ???????????????432144434241343332312423222114131211bbbbaaaaaaaaaaaaaaaa??????????????4535251544434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa?????????????????4321444342413433323124232221141312111bbbyaaamaaamaaamuuuuk?????????????????4321444342413433323124232221141312112bbyyaammaammuuumuuuuk?????????????????4321444342413433323124232221141312113byyyammmuummuuumuuuuk?????????????????4321444342413433323124232221141312114yyyyummmuummuuumuuuuk此方法稱 緊湊格式的 Doolittle法 。 ULy? 例： 用緊湊格式的 Doolittle分解法解上例方程組 解： ???????????????4535251544434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaA??????????????????????72510139144432113124330102??????????????????????????????????????????????????725101391444321131243301024321xxxx22 10 0 3 103 1711 12 2022133 4 22 1162 9 13 711k ??????????????? ? ???????????????????????????????????????164911621117112113113212021712112310301024kULy?????????????????????72510139144432113124330102??????????????????????????71391422432215131242310301021k???????????????????????????????713911621117112113113212021712112310301023k??????????????????????????????44911623112113113212217121123130102yUx解x??????????????????????????????43214321xxxxx所以 ????????????????????????????????164911621117112113113212021712112310301024kULy????????????????????????????????111211221222111???????nnnnnnuuullllllULAnrriulalrkkrikirir ,1,11????? ???nrrjlulaurkrrkjrkrjrj ,2,1,/)(11?????? ???計算公式： 二、 Crout分解法： 將矩陣 A分解為如下形式： 例 ： 求矩陣 A的 Crout分解： ??????????????303021112A)21()1(222 ?????l )21(3032 ????l )23/()]21()1(0[23 ?????u)]31()23()21(33[33 ???????l?????????????????????????1003/1102/12/1152/3302/31002A所以 ??????????????52/333/12/312/12/12? 若 n階實矩陣 A為對稱正定矩陣，則： ?（ 1） AT＝ A； ?（ 2）對任意的 X≠0，有 XTAX0； ?（ 3） A的各階順序主子式大于零。,i ) ijjkjkik all ??? 1jjjkjkikijij lllal /)(11????? 21112 )( ?????ikikiiii lal( j =1,2,i1 ) 無需開方，故稱 改進的平方根法 ? 應用 Cholesky分解可將方程組 Ax＝ b分解為兩個三角形方程組： ?????yxLbLyT而應用改進的 Cholesky分解可將方程組 Ax＝ b分解為下面的方程組： ?????? yDxLbLyT 1例： 用改進的平方根法解方程組 Ax＝ b，其中 ?????????????????151531140150523121A?????????????81621b解： 由 d1 = a11, l21= a21/d1, , ln1 = an1/d1 d1=1， l21=2， l31=1， l41=3 jjkjkkikijij dldlal /)(11??????????11ikikkikiii ldlad得 又由 得 d2=1， l32=2， l42=1， d3=9， l43=2/3， d4=1 因此，得到 ?????????????????13213012100120001L?????????????1000090000100001D解方程組 Ly＝ b，得 ?????????????????????1150134324214144232131331212211ylylylbyylylbyylbyby解方程組 LTx＝ D1y，得 ?????????????????????1/1/1/1/441331221111442332222443333444xlxlxldyxxlxldyxxldyxdyx最終求得方程組 Ax＝ b的解為 x=(1,1,1,1)T 四、 三對角方程組的數(shù)值解法 ????????????????????????????????????????????????????