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數(shù)值分析--第6章解線性方程組的迭代法-wenkub.com

2024-08-30 01:55 本頁(yè)面
   

【正文】 。 稱為迭代法的漸近收斂率,或稱漸近收斂速度。以上定義的是平均壓縮率的對(duì)數(shù)值(再取負(fù)號(hào))。如果要求迭代次后有 (613)其中因子是個(gè)小數(shù)。2)結(jié)論(4)可用作迭代次數(shù)的估計(jì)。(3) 利用(b)得于是(4) 反復(fù)利用(a),則得到(4)。由于所以也為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,故,與已知矛盾。設(shè)是的相應(yīng)于的特征向量(可能是復(fù)向量),即也就是上式兩邊與作復(fù)內(nèi)積,有則利用正定陣的對(duì)角元素大于0,有(由于為對(duì)稱正定陣,所以對(duì),有,特別取,有)記由于,所以,故于是,而注意到及的正定性可知的分子小于分母,即,從而,SOR法收斂。采用反證法,若,則由為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣有因此為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣,故,矛盾,因此只能,即,從而GS法收斂。只需證明和。如果改變方程的次序,有顯然為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),故J和GS法均收斂。例4 考慮系數(shù)矩陣,的方程組。設(shè),則方程組的第個(gè)方程為由此得與為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矛盾。定義 若,當(dāng)時(shí),如果存在一個(gè)下標(biāo)的非空子集,使得當(dāng)而時(shí)有則稱為可約陣。需要指出的是:矩陣范數(shù)可以是任何一種矩陣范數(shù),不限于算子范數(shù),常用的范數(shù)有;其次,使用矩陣范數(shù)判別只是充分條件,而非必要條件。注:1)在求GS法和SOR法的特征方程時(shí),注意到事實(shí)可避免求逆矩陣。(1) ; (2) 解 (1) Jacobi法的迭代矩陣為其特征方程為由已知得,所以,因此Jacobi迭代法收斂。因?yàn)?,SOR法收斂必有,又因?yàn)橛谑怯兴?。若,則不是的特征值,因而有,于是對(duì)任意維向量,方程組有唯一解,記為,即并且又因?yàn)樗?,?duì)任意初始向量,都有即由迭代公式(611)產(chǎn)生的向量序列。 對(duì)任意的初始向量和右端項(xiàng),由迭代格式 (611)產(chǎn)生的向量序列收斂的充要條件。不難證得即具有特點(diǎn):每乘一次,相當(dāng)于把元素為1的那條斜線向右上方推一步。GS法的迭代公式為迭代6次的近似解。2.置3.計(jì)算4.若,輸出,停機(jī),否則轉(zhuǎn)5。松弛法是將乘上一個(gè)參數(shù)因子作為修正項(xiàng)而得到新的近似解,其具體公式為即 (69)按式(69)計(jì)算方程組的近似解序列的方法稱為松弛法,稱為松弛因子。第次的迭代結(jié)果可看作第次基礎(chǔ)上的修正,現(xiàn)在我們引入一個(gè)參數(shù),來改變這
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