【正文】 感謝我的同學(xué)和朋友，在我寫論文的過(guò)程中給予我了很多 參考 素材，還在論文的撰寫和排版 等 過(guò)程中提供熱情的幫助。尤其要 特別 感謝我的論文指導(dǎo)老師 — 禹海雄 老師，她對(duì)我進(jìn)行了無(wú)私的指導(dǎo)和幫助，不厭其煩的幫助進(jìn)行論文的修改和改進(jìn)。 [4] 林成森、數(shù)值計(jì)算方法。通過(guò)對(duì)幾種方法 的計(jì)算精度和收斂性等作出比較，而得出結(jié)論，在這一章還介紹了一種求解非線性方程的新的迭代法，相比其他傳統(tǒng)的迭代法，新的迭代法有其迭代收斂速度更快、精度更高等特點(diǎn) 最后我再次對(duì)自己隨寫的論文坐下總結(jié)，對(duì)于非線性方程組的求解數(shù)值的方法，論文介紹了牛頓法，擬牛頓法，割線法這三種最常見的方法，并把其算法步棸進(jìn)行了闡述，形象簡(jiǎn)單，容易讓人接受。 我們把輔助點(diǎn)定位 ,k i k kiix x h e?? ， i=1， ...， n， 其此時(shí) ie 作為第 i 個(gè)分量為 1 的 17 坐標(biāo)向量， ? ?1 ,...,k k knh h h?是 kx 的已知向量，得到 kH =1 00kknhh?????? ? ? ? ?,k i kF x F x? =? ? ? ?? ? ? ?11...k k kiik k kn i i nf x h e f xf x h e f x?????????????? 我們?nèi)绻阉涀鳛椋?? ? ? ?? ?, , .k k k kijJ x h x h n n?， 其中 ? ? ? ? ? ?1,k k k k kij i i i ikix h f x h e f xh ??? ? ??? 此時(shí)這種割線法可以轉(zhuǎn)化為： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?11111,1, , ...,1,k k k k kk k k k kkk k knnknx x J x h F xJ x h F x h e F xhF x h e F xh????????????????? ? ????????????????? ① 我們通過(guò)割線法轉(zhuǎn)化得到的也可以說(shuō)是離牛頓法。 ?xf ，那么初值 10,xx 就會(huì)無(wú)限接近 *x ，此時(shí)雙點(diǎn)割線法的迭代過(guò)程收斂，收斂速度的計(jì)算方法為： 61 *61 *39。 現(xiàn)在來(lái)闡述一下割線法的幾何意義： 我們知道雙點(diǎn)割線法是將過(guò)點(diǎn) ))(,( 00 xfx 和 ))(,( 11 xfx 的割線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 2x 作為方程 0)( ?xf 的根 *x 的近似值 ,可以重復(fù)此過(guò)程進(jìn)行運(yùn)算，將 ))(,( 11 ?? kk xfx 16 和 ))(,( kk xfx 這兩點(diǎn)的割線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 1?kx 理解為方程 0)( ?xf 解 *x 的近似值。可以看得出一個(gè)非奇異矩陣 ? ?nkA L R? ， nkbR? ，我們已知 F（ x）在某點(diǎn)上的值，就可以利用插值得的方法來(lái)進(jìn)一步確定方程（ 3 .2）中的 KA 和 KB ，從而得到這一類不用到算導(dǎo)數(shù)就可以求數(shù)值的方法，這就是我準(zhǔn)備所要介紹的割線法： 我們假設(shè)在 nR 中 n+1 個(gè)上面有互不相同的點(diǎn) ,kjx （ j=0.， 1， ...n）上所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 F（ ,kjx ），這是我們可以得到： ? ? ? ?, , ,k j k j k jk k kL x A x b F x? ? ?， i=0 ， .......n。這就說(shuō)明了擬牛頓法的計(jì)算量小，不復(fù)雜，同時(shí)收斂性好。 擬牛頓法的算法 現(xiàn)在我們來(lái)說(shuō)下擬牛頓法的算法過(guò)程： 1. 首先我們要確定 ??0x 的初值，數(shù)值的精確度： ? ， 0k? ，并定義初始矩陣為：oH ； 2. 其次求解 ? ?? ?kFx 的數(shù)值，假如 ? ?? ?kFx ?? ，那么就令 ? ?kxx?? ，停止； 3. 把 ? ? ? ? ? ?? ?1k k kkx x H F x? ??進(jìn)行迭代計(jì)算； 4. 在求解 ? ?? ?1kFx? ； 5. 1kk??，代入上面的（ 2），來(lái)循環(huán)計(jì)算。 我們把 kB 定義為非奇異的。 kFx有奇異，那么這個(gè)時(shí)候牛頓法將無(wú)法計(jì)算。 kFx是 2n 個(gè)偏導(dǎo)數(shù)值建立的矩陣，我們不可能遇到的都是簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)，假如我們遇到每個(gè)數(shù)值都很復(fù)雜，這個(gè)時(shí)候我們將無(wú)法進(jìn)行計(jì)算。 } 最后總結(jié)：我們可以從上面的實(shí)例可以得到，牛頓法是求解非線性方程組最簡(jiǎn)單的一種線性方法，它的構(gòu)想是通過(guò)非線性方程組以線性方程組轉(zhuǎn)化，從 而來(lái)形成一種迭代形式然后迭代達(dá)到迭代次數(shù)來(lái)逼近，最終來(lái)求解。 getch()。 coutendl。imatrixNum。jmatrixNum。 *(matrixF2+j)=*(matrixF2+i*matrixNum+j)*t。 } 11 t=*(matrixF1+1)。 for(i=1,j=0。jmatrixNum。j++) { *(matrixF1+i*matrixNum+j)/=t。 coutendl。imatrixNum。 cout矩陣 F 在 [*x39。 *(matrixF1+3)=(f1(*x,(*(x+1)+x_))f1(*x,*(x+1)))/x_。 else *(matrixF2+i*matrixNum+j)=0。imatrixNum。 //矩陣 F 的雅可比矩陣 double *matrixF2。 getch()。,39。i++) p+=pow(*(b+i),2)。 cout*(x+i) 。i++) { for(j=0。 *(matrixF+1)=f1(*x,*(x+1))。 for(i=0。 for(i=0。 //矩陣 F 的雅可比矩陣的逆 b=(double *)malloc(matrixNum)。 double p,*x。 ，其精度 __ix k x k? 時(shí)，我們需要重復(fù) 2— 5 次，一直使精度達(dá)到最?。ň?_xk? ）時(shí)停止迭代，最后的迭代結(jié)果為 _ixk。 4． ??39。Fx? 。 2．把 ??Fx轉(zhuǎn)化為雅克比矩陣，得到 ??39。Fx，通過(guò) ??39。 （ 5） 這就是我們所說(shuō)的求解非線性方程組（ 2）的牛頓法。若果知道方程組 ??Fx=0 的一個(gè)近似根? ? ? ?1 ,..., Tk kknx x x? ，再用函數(shù) ??Fx的分量 ? ?? ?1,....,if x i n? 在 ??kx 用多元函數(shù)泰勒的方法展開，提取線性方程就可以得到： ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?39。我們來(lái)比較一下牛頓法，牛頓法簡(jiǎn)單的來(lái)說(shuō)其實(shí)也是一種線性化方法，他的理念就是把非線性方程 f（ x）轉(zhuǎn)化成某種類型的線性方程求解 x的值。 我們用差分方法離散化得到： 1 ,1h n? ? jt jh? ， j=0,1,2,3，、 n+1 ， 在得到： ? ? ? ?39。 （ 1） 我們可以把 F 可以看做在 nR 區(qū)域內(nèi)展開的非線性映像， 表示為 : nnF D R R? ? ? 下面我們來(lái)介紹簡(jiǎn)單的邊值問(wèn)題： ? ?39。我在圖書館查閱了資料和在老