【正文】 ? ?為精 確 解Jacobi迭代法的計算過程如下： ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 1 2( 0 )( 0 )( 0 )11. ( ) , ( , , ) , , ( , , , ) ,2. 1.3. 1 , 2 , ,4. , , 55. , 1.( ), ( 1 , 2 , , ) , 3/ni i ij j iijjij n niiiNxbA a b b b n x x x xki L nx x xk N k k x x na x ai????? ? ????? ? ? ? ?? ?輸 維 數(shù)對輸 則 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)敗許 數(shù)則 輸入置 若 出 停 機(jī) ； 否精 度 。若 置 ；否 ， 出最 大 容 迭失 信 息代 次， 停 機(jī) 。( ) ( 1,kkM x x ?變 兩 組 單評 簡 單 計 陣）不 改 的 稀 疏 性 ， 需 工 作 元 ， 存價 ： 公 式 ， 每 迭 代 一 次 只 需 算 一 次 矩 和 向 量 的 乘 法 。167。 高斯 —塞德爾迭代法 ( 1 ) ( ) ( ) ( )1 12 2 13 3 11( 1 ) ( ) ( ) ( )2 21 1 23 3 22 k k k knnk k k knnJ ac obigx b x b x b xgx b x b x b x??? ? ? ? ?? ? ? ? ?組 為( k +1 ) ( k )x = B x + g ( k = 0 , 1 , 2 , ) ，用 方 程代 公 式表 示迭：( 1 ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ,)11( ) ( 1 k k k kn n nknnnknJ ac obixxgx b x b x b x???????????? ? ? ? ???時 兩計。過 個因 此 ， 在 迭 代 法 的 算 程 中 需 同 保 留近 似 解 向，量 和( 1 ) ( ) ( ) ( )1 12 2 13 3 1 1( 1 ) ( ) ( )2 23 3 2 2( 1 )( 1 )21 1( 1 )1 1 2 k k k knnk k knnknkknngx b x b x b xgx b x bbbxxxx???? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?( 1 ) ( 1 )2 , 1 1 kkn n n nb x b x g?????????? ? ????? 整個計算過程 只需用一組（ n個）單元存放近似解分量 。而且一般認(rèn)為 新近似解要比老近似解更接近真實(shí)解。 將已計算出的 x（ k+1） 分量替換 Jacobi 迭代公式中 x（ k） 相應(yīng)分量，這種方法稱為 GaussSeidel迭代。 評價： 與 Jacobi 相比， GaussSeidel迭代法 只需一組工作單元存放近似解。 若把迭代公式改寫為： 用矩陣表示 : ( 1 ) ( )1( ) 1 , ( )kkI L x U x gI L I L? ????項為移 可 得 存 在 ， 上 式( 1 ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 3 3 1 1( 1 ) ( ) ( )2 2 3 3 2(12)2 1 1(1( 1 ) )1 1 2 k k k knnkkkkn nnnnkkgx b x b x b xgx b xxbbx xxb?????? ? ? ? ?? ? ? ? ???( 1 ) ( 1 )2 , 1 1 kkn n n nb x b x g???????????? ? ???12 12,000U000 0 0 0nnbbb????? ????21120 0 0 00 0 0 00nnL bbb????? ????( 1 ) ( 1 ) ( ) k k kx L x U x g??? ? ?( 1 ) 1 ( ) 1( ) ( )kkx I L U x I L g? ? ?? ? ? ?12 13 121 23 231 3211 2 1111 1 1( 1 ) 1 ( 0 0 0 00 00 00 , () ( )nnnnn n nnkkAa a aa aaL a a Uaa a aL D L U D UI L D D D L D D Lx I L U x????? ? ???? ? ??? ???? ??? ???? ???? ??? ? ? ??? ????? ???? ??? ? ???????? ? ? ? ? ???陣 來 記則 如 果 用 矩 表 示 ，由)1()I L g???( 1 ) 1 ( ) 1( ) ( )kkx D L U x D L b? ? ?? ? ? ??1( ) M D L U G a u ss S e ide l?陣 為 陣式 中 矩 迭 代 法 的 迭 代 矩 。GaussSeidel迭代法的解 1 2 31 2 31 2 3( 0 )1 ( 0 ) ( 0 )1 2 3 11 ( 1 ) ( 0 )2 1 3 2131 0 2 7 2 1 0 2 8 35 4 2( 0 , 0 , 0 ) ,11 ( 2 ) 7 2 7 .2 0 0 01 0 1 011 ( 2 ) ( 7 .2 0 0 0 8 3 ) 9 .0 2 0 01 0 1 0 Tx x xGa u ss S e i d e l x x xx x xxx x x bx x x bx? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??（ ）（ ）（ ） 例 ： 用 迭 代 法 求 解解 ： 仍 取 代 入 迭 代 式 ， 得( 1 ) ( 1 )1 2 3( 5 )11( ) 7 .2 0 0 0 9 .0 2 0 0 4 2 ) 1 1 .6 4 4 0( 1 0 .9 9 8 9 , 1 1 .9 9 9 3 , 1 2 .9 9 9 6( 1 1 , 1 2 , 1 3 ) .)55Tx x bxx? ? ???? ? ?（繼 續(xù)為如 此 下 去 ，精 確 解( 9 ) ( 10. 999 4 , 11. 999 4 , 12. 999 2) TJ ac obi x ?迭 代 法 的 解 ：比較： 評價： 與 Jacobi 相比， GaussSeidel迭代法 只需一組工作單元存放近似解。 上例計算結(jié)果顯示， GaussSeidel迭代法比 Jacobi 迭代效果好。事實(shí)上， 對有些問題 GaussSeidel迭代法比 Jacobi迭代法收斂快，但也有 GaussSeidel迭代法比 Jacobi迭代法收斂慢，甚至還有 Jacobi迭代法收斂， GaussSeidel迭代法發(fā)散的情形。 ( 0 )( 0 )1 1 1 1( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 1 2121( 0 )11( ) / ( ) / ( 2 , , 1 ) 1. ( ) , ( , , ) , , ( , , , ) ,.2. 1.3 . (njjjini i ij j ij j iij j innij n nNx b a x ax b a x a x a i nA a b b b n x xxxxkb???? ? ???? ? ? ? ?????????精 度 ， 最 大 容 許 迭 代 次維 數(shù)數(shù)輸計入置算( 0 )11( 0 )4. , , 55. , 1 , ( 1 ,/3)2 , , ) ,innj j nnijx x xk N k k xaax i nx????? ? ? ? ?? ?輸 則 轉(zhuǎn) 。轉(zhuǎn) ；則 輸 敗若 出 停 機(jī) ； 否若 置否 ， 出 失 信 息 ， 停 機(jī) 。GaussSeidel迭代法的計算過程： 167。 松弛法 （ SOR） ( 1 )1( 1 ) ( ) ( )111( 1 ) ( ) ( )1)11( 1 ( )2 , 1 ( ) ( 1 , 2 , ,(), , , ) kink k ki ij j ij j i ij j iink k ki ij j ij j ij j iiiT k knx G auss Se i de lx b x b x g xb a x a x x i nax x x x x x?????????? ? ?? ? ?? ? ? ? ?????????????設(shè)則 其 中 由 迭 代 公 式 得 到 。有( 1 ) ( )kkx x x? ? ? ? 是 GaussSeidel迭代法的一種加速法 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( )()k k kx D L x D U x D b x? ? ? ?? ? ? ? ?矩陣形式 : 可把 ?x看作 GaussSeidel迭代的 修正量 ，則第 k次近似解修正后，新的近似解為： ( 1 ) ( ) kkx x x?? ? ? ? 111A x bG a u ss S e ide l???????? 稱 為當(dāng) 時 稱 為稱時計稱 為為按 上 式 算 的 近 似 解 序 列 的是 迭 代松 弛 因 低 松 弛 ；松 弛 法 ，；超子方 法。松 弛 法 。( 1 )1( 1 ) ( )11 ( 1 ) ( ) ( 1 , 2 , , )kki i iink k ki i ij j ij jj j iiix x xx b a x a xain??????? ? ?? ? ?? ? ? ? ????即 松弛法 是將 ?x乘上一個參數(shù)因子 ?作為 修正量 ，則新的近似解為： ( 1 ) ( )kkx x x?? ? ? ?( 1 11 ) 1 ( ) 11 1( ) [ ( 1 ) ] ( ) 1 , ( )kkI D L I D L Dx D L D U x D L bL? ? ? ?????? ? ?? ? ? ????為 －因 故 （ ） 與 存 在 ， 有 ：松弛法迭代公式的矩陣表示 1 ( 1