[理學(xué)]初等數(shù)論第三章課件-資料下載頁
2025-10-07 21:10本頁面
【正文】 5 1 01 0 4 ( m o d 6 ) , 1 0 4 ( m o d 6 ) ,1 0 1 0 1 0 4 4 4 ( m o d 6 ) ,1 0 1 0 1 0 4 ( m o d 6 )??? ? ? ? ? ?? ? ? ?同 理 有4 4 4 5 521 0 1 0 1 0 1 0 1 0 32 3 5 ( m o d 7 ).s ? ? ? ? ? ? ?? ? ?故 有由 此 得 知 那 一 天 是 星 期 五121 2 1 24 , , , ,( ) ( m o d ))ap p p paap h h h Zh h h h h h pii?? ? ? ? ? ? ?例 、 (i) 證 明 ： 若 是 素 數(shù) ， 則（ 利 用 （ i) 證 明 費(fèi) 馬 小 定 理 ， 再 用 費(fèi) 馬 小 定 理證 明 歐 拉 定 理 .1 2 1 21 2 1 2()( ) ( m o d )( m o d ).paap p paaih h h h h h ph h h h h h p? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?證 法 一 ： 由 費(fèi) 馬 小 定 理 得及故 結(jié) 論 成 立1 2 1 21 1 1 111()2 ) ( m o d )1( ) ( )( m o d )p p pp p pn n n np p pania h h h h pa n a nh h h h h hh h h p???? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?證 法 二 ： （ 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 ）當(dāng) 時(shí) ， 已 證 （ 成 立 ；假 設(shè) 時(shí) 命 題 成 立 ， 那 么 當(dāng) 時(shí) ，12( ) 1 , ( m o d ).pai i h h h a a p? ? ? ? ?取 即 得 ，費(fèi) 馬 小 定 理 得 證1()( , ) 1 1 ( m o d )1 ( m o d )ppa p F e r m a t a pap?????下 面 證 明 歐 拉 定 理 ：當(dāng) 時(shí) ， 由 小 定 理 得即() 1 ( m o d ) 1pap??? ?下 面 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 （ ）( ) ( )11 ( m o d ) 1 ,kkp k p kka p a q p q Z??????? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ， 已 證 成 立 ； 假 設(shè) 時(shí) 成 立 ， 即， 則11 1 1( ) ( ) ( )) ( ) )( ) ( 1 )k k kk k k k k kp p p p p k pp p p p p p p pa a a q p? ? ????? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?此 時(shí) 由 （ （得1( ) 11( 1 ) ( 1 )( 1 ) 11 ( m od )1kk p ipp k p kkqp C i p pq Z a qp q pp????? ? ???? ? ? ? ? ??在 的 展 開 式 中 ， 系 數(shù) 是 的 倍 數(shù) ，故 ， 使 得（ ） 式 獲 證1212()( , ) 1 , ( , ) ( , ) 1 ,1 ( m o d )( ) ( )kiiiiik i ipiia m m p p p a p a pappm??????????? ? ? ??設(shè) 得從 而 有 ，再 結(jié) 合 可 得() 1 ( m o d )im iap ?? ?1()1()( , ) 1 , 1 ,1 ( m o d [ , , ] )1 ( m o d )jikijmkmp p i j ka p pam??????? ? ???又 ，所 以即11 1 00 1 101015 20214,():( 1 ) , , ,( 2) ( 2), , ,( ) ( ) ( ) ( )nnnnkknnf x x a x a x aa a am k kr r rf m f r f r f r????? ? ? ? ???例 、 （ 年 全 國 數(shù) 學(xué) 聯(lián) 合 競 賽 加 試 題 ）證 明 ： 對 任 意 整 數(shù) 存 在 一 個(gè) 次 多 項(xiàng) 式具 有 如 下 性 質(zhì)均 為 正 整 數(shù) ；對 任 意 正 整 數(shù) ， 及 任 意 個(gè) 互 不 相 同 的正 整 數(shù) ， 均 有( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) 2f x x x x n? ? ? ? ?證 明 ： 令①( ) 1fxn將 ① 的 右 邊 展 開 即 知 是 一 個(gè) 首 項(xiàng) 系 數(shù) 為 的 正整 數(shù) 系 數(shù) 的 次 多 項(xiàng) 式 。( ) ( 2 )fx下 面 證 明 滿 足 性 質(zhì)41 , 2 , , 4( ) 2( m od 4)x n nx x x nfx?? ? ??對 任 意 整 數(shù) ， 由 于 ， 故 連 續(xù) 的 個(gè) 整 數(shù)中 必 有 一 個(gè) 為 的 倍 數(shù) ， 從 而 由① 知1212( 2 ) , , ,( ) ( ) ( ) 2 0 ( m o d 4 )kkkk k r r rf r f r f r???因 此 ， 對 任 意 個(gè) 正 整 數(shù) ， 有12( ) 2 ( m o d 4 )( ) ( ) ( ) ( ) ( m o d 4 )km f mf m f r f r f r??但 對 任 意 正 整 數(shù) ， 有 ， 故12( ) ( ) ( ) ( ) ( )kf m f r f r f r f x?從 而 ， 所 以 符 合 題 設(shè) 要 求 .歐拉定理的應(yīng)用 —— 小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化 2 , 0 ( , ) 1( , 1 0 ) 1aa b a bbb? ? ??定 理 、 有 理 數(shù) ， 能 表 成 純 循 環(huán)小 數(shù) 的 充 要 條 件 是110 1 ,0.ttababaa a a ab???證 ： （ 必 要 性 ） 若 能 表 成 純 循 環(huán) 小 數(shù) ， 因 為所 以 設(shè)121 2 1 11 0 1 0 1 0 0 .,t t tt t taa a a a a a abaq q Zb???? ? ? ? ?? ? ?則, ( 1 0 1 ) , ( , ) 11 0 1( 1 0 1 ) 1 0 1 ( m o d )( 1 0 , ) ( 1 0 , 1 ) 1 ( 1 0 , ) 1ttttttaqa b q a bbbbbb? ? ? ????? ? ?故 即 由 即 得， 從 而 ， 推 出， 即( ) ( , 1 0 ) 1,1 0 1 ( m o d ) , 0 ( )1 0 ,10 1 0 1 0 ( 1 ) 1 0 1ttt t tii btZb t ba q b aaqbb????? ? ???? ? ? ? ? ?（ 充 分 性 ） ： 若 ， 則 由 歐 拉 定 理 得 ，存 在 使 得成 立 ， 因 此 且1 1 2 1 1 111110 ,= 10 , 10 , , 100 9 , = 10 10 10tt t t ttti t t taaqbbq q a q q a q q aa q q a a a??????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?故 且令 ，則 ，1212120 1 0 1 0 , , , , 90.0 . ,1010.10tttttt tq q a a aqa a aaaa a abb? ? ? ??? ? ?由 ， 即 得 且 不 全 是 ， 也不 全 是 因 此1 2 1 20. ttaa a a a a ab?反 復(fù) 應(yīng) 用 上 式 即 得1 1 13 0 , ( , ) 1 ,2 5 , ( , 1 0 ) 1 , 1 , ,m a x { , }aa b a bbab b b bb????? ? ?? ? ?? ? ??定 理 、 若 是 有 理 數(shù) ， 其 中不 全 為 零 ， 則 可 以表 成 混 循 環(huán) 小 數(shù) ， 其 中 不 循 環(huán) 的 位 數(shù) 是
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