【文章內(nèi)容簡介】 模 均成立。 否則，必存在某個向量范數(shù) || ||v 使得 對任意 A 成立。 vvF xxAAx ||||||||m ax||||0 ???? ??注： Freebies范數(shù)不是算子范數(shù) 021|| |||| || 1 m a x 1|| ||xnvFi vIxInx???? ? ??設(shè) A＝ I（單位陣），其 || ||F為： ∴ || ||F不是算子范數(shù) 求矩陣的算子范數(shù) ? 例：已知矩陣 A，求算子 1范數(shù)和算子 ∞ 范數(shù)。 1m a x2161 2 3 6 6 5 4 15789 14 15 24 16 ( ) 16 .712497TAAAA A A???????????????所 以 ， 行 和 范 數(shù) 為 ， 列 和 范 數(shù) 為和列 和行 矩陣是一種線性映射算子， 稱為 矩陣算子 。 所以有些矩陣范數(shù)又叫做 “算子范數(shù)”。 – 任意離散有限線性算子可表示為矩陣形式。 A / D()xt ()xnL T I()xt ()ynA / D()yt離 散L T I()yn可表示為矩陣形式 0000 0 0( ) ( )0 0 ... 00 0 0aay n ax n x ya????? ? ?????1)尺度算子： LTI：線性時不變系統(tǒng) ? 為什么叫做 “ 算子范數(shù) ” ？ ? 線性時不變算子 的矩陣表示 ?線性時不變 算子的矩陣表示 1 1 0 0 0 ( 1 ) ( 2) ( 1 )0 1 .. . 0 0 ( 2) ( 3 ) ( 2)( ) ( 1 ) ( ) 0 0 .. . 1 0 .. . .. .0 0 0 1 1 ( 1 ) ( ) ( 1 )0 0 0 0 1 ( ) 0 ( )x x xx x xy n x n x nx n x n x nxn xn??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??2)差分算子 1111( 1 )1 0 0 0 0 ( 1 ) ( 1 ) ( 2)1 1 .. . 0 0 ( 2) ...( ) ( ) 1 1 .. . 0 0 .. .()1 1 1 1 0 ( 1 )1 1 1 1 1 ( )()nniinixx xxxy n x ixixnxnxi????????? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?????????3)累加算子 不考慮邊界問題 0 0 0 0 0 ( 1 ) 01 0 .. . 0 0 ( 2 ) ( 1 )( ) ( 1 ) 0 1 .. . 0 0 .. . .. .0 0 .. . 0 0 ( 1 ) ( 2 )0 0 0 1 0 ( ) ( 1 )xxxy n x nx n x nx n x n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?4)時移算子 用 D表示 線性微分方程 0 1 2 0 1 2( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )0 1 2 0 1 2( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 ) ( 2) ( ) ( 1 ) ( 2) a x n a x n a x n b y n b y n b y na I a D a D x b I b D b D yDD? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?可 記 為 ：其 中 ， ， 為 一 階 ， 二 階 時 移 算 子?線性時不變 算子的矩陣表示 0 0 0 1 0 2 0 ( 1 )1 0 1 1 1 2 1 ( 1 )( 1 ) 0 ( 1 ) 1 ( 12 2 2 22 2 2 22102 2 2) 2 ( 1 ) ( 1 )2......( ) ( )... ... ... ... ...... ... ... ... ......j j j jN N N Nj j j jN N N NNj k iNijjNNjjNN N N N NN N Ne e e ee e e ey k e x ie e e e? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????( 0) ( 0)( 1 ) ( 1 ) ... ...( 1 ) ( 2)( 1 ) ( 1 )xyxyx N y Nx N y N????????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?5)傅立葉變換 ?線性時變 算子的矩陣表示 ?譜半徑 （討論特征根與范數(shù)的關(guān)系 ） 矩陣 A的 譜半徑 記為 ? (A) = ，其中 ?i 為 A 的特征根。 ||m a x1 ini ???Re Im ? ? ? ? ? ? ? ? ? (A) 定義： 特征根 中最大的模為 譜半徑 ?矩陣范數(shù)的性質(zhì) 所以 2范數(shù)亦稱為 譜范數(shù)。 定理 對任意算子范數(shù) || || 有 ||||)( AA ??證明： 由算子范數(shù)的相容性，得到 |||||||||||| xAxA ?? ??將任意一個特征根 ? 所對應(yīng)的特征向量 代入 u?|| || || || || ||A u A u A?? ? ? ???? |||||||||| uu ?? ??定理 若 A對稱矩陣，則有 )(||||2 AA ??證明： )()(|||| 2m a xm a x2 AAAA T ?? ??A對稱 若 ? 是 A 的一個特征根，則 ?2 必是 A2 的特征根。 因 ?任意性，則有 1( ) m a x | | || ||in iAA???????若 （最大特征根）， 則 ?02 必是 A2 的最大特征根。 0( ) | |A???222 m a x 0 0|| || ( ) ( )A A A? ? ? ?? ? ? ?計算 2范數(shù)的一種方法 后面分析病態(tài)問題時要用 非奇異陣 若矩陣 B 對某個算子范數(shù)滿足 ||B|| 1，則必有 定理 ① BI ? 可逆； ② ? ? ||||1 11 BBI ??? ?證明： ① 若不然，則 有非零解，即存在非零向量 使得 0)( ?? ?? xBI0x? 00 xxB ?? ??? 1||||||||00 ??xxB??1|||| ?? B ? ② 1( ) ( )I I B I B ?? ? ? 11( ) ( )I B B I B??? ? ? ?11 )()( ?? ???? BIBIBI ?||)(||||||1||)(|| 11 ?? ?????? BIBBI根據(jù)算子范數(shù)定義： 0 || |||| || m a x || ||x BxB x??? 0|| ||m a x 1|| ||xBxx???? ? 11 1|| ( ) || ( 1 || ||) 1 1 || ||I B B I B B??? ? ? ? ? ? ? ?A ????????4 32 1例 ， X=[3 5]T，分別求 A、 X 的“ 1范數(shù)”和“無窮大范數(shù)” ? ? 613,24m a x1 ????A ? ? 712,34m a x ?????A8|5||3|1 ????X 5|}5||,3m a x { ||||| ????XMatlab: A=[4,3。2,1] X=[3 5] norm(A,1), norm(A,inf) norm(X,1), norm(X,inf) 167。 解線性方程組的迭代法 ?迭代法（ iterative method ） 迭代法是從 初始猜測值 開始，通過 依次逼近 獲得問題解的 方法 。 (Iterative method: attempts to solve a problem by finding successive approximations to the solution starting from an initial guess；（ es from wikipedia） ) ? 應(yīng)用很廣： ?線性方程組求解、非線性方程求解、非線性方程組求解、特征值求解、最優(yōu)化方法、分形等，以及數(shù)字信號處理中的維納濾波、卡爾曼濾波等等都要用到 迭代法 ? 典型方法： ?數(shù)值計算： Jacobi法、 GaussSeidel法 、 Newton迭代法、最快下降法（ Steepest Descent） ?迭代法解一般 (非線性 )方程 ? 迭代序列的 基本公式 ： ( 1 ) ( ) 0( ) ,kkx x x a?? ???(x)為：任意 n維空間到 n維空間的函數(shù)。 當(dāng) ?(x)為線性函數(shù) 時，上式即為線性方程 (組 ) 的 迭代公式。 如何利用迭代法解方程？ ? 迭代法基本原理： 如果迭代序列｛ x（ k+1） = ? (x（ k） )｝ 收斂， 則其極限點 x*為方程 ? (x)= x 的解。 x*稱為函數(shù) ?(x)的 不動點（ fixed point） 迭代函數(shù)的構(gòu)造： 對于一般的非線性方程 f(x)=0 例 1：用迭代法求解方程 2 x = 1 ? 構(gòu)造迭代函數(shù)： 1 1 1 02 1 1 2 ( 1 1 . 5 )3 1 2xxx x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 1 ) ( )1( 1 ) ( )2( 1 ) ( )3( 1 ) ( )4( ) 1 1( ) ( 1 ) / 3 ( 1 ) / 3( ) 2( 1 1. 5 ) 2( 1 1. 5 )( ) ( 1 10 ) / 12 ( 1 10 ) / 12kkkkkkkkxx xxxx xxxx xxxx xx?????????? ? ???? ? ???? ? ???? ? ??( ) 0 ( )f x f x x x? ? ? ? ( ) 0 ( )a f x a f x x x? ? ? ? ? ?或 即迭代函數(shù)為 ?(x)= f(x)+x 或 ?(x)= af(x)+x 迭代函數(shù) : 迭代函數(shù)的構(gòu)造 ? 迭代法的步驟： – 寫出迭代方程 – 迭代 ? clear all ? close all ? clc ? format long ? % 迭代法求解 2x=1 ? x0 = 0 % 迭代初值 ? N = 30 % 迭代次數(shù) ? % 方法 1： f(x) = 1 x ? x1(1) = x0。 ? for iii = 2 : N ? x1(iii) = 1 x1(iii 1)。 ? end ? figure。 ? plot(x1, 39。o39。) ? title(39。f(x) = 1 x39。) 0 10 20 3000 . 2