常微分方程練習(xí)題及答案(復(fù)習(xí)題)-資料下載頁(yè)
2025-06-24 15:00本頁(yè)面
【正文】 ,故由歸納法，對(duì)一切正整數(shù)，有. 而上不等式的右邊是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，故當(dāng)時(shí)，它, 即得, . 3. 設(shè) 都是區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù), 且 是二階線性方程的一個(gè)基本解組. 試證明: (i) 和 都只能有簡(jiǎn)單零點(diǎn)(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點(diǎn)同時(shí)為零)。 (ii) 和 沒(méi)有共同的零點(diǎn)。(iii)和 沒(méi)有共同的零點(diǎn).證明: 和 的伏朗斯基行列式為 因 和 是基本解組, 故.若存在 , 使得 , 則由行列式性質(zhì)可得 , 矛盾. 即 最多只能有簡(jiǎn)單零點(diǎn). 同理對(duì) 有同樣的性質(zhì), 故(i)得證. 若存在 , 使得 , 則由行列式性質(zhì)可得 , 矛盾. 即 與 無(wú)共同零點(diǎn). 故(ii)得證. 若存在 , 使得 , 則同樣由行列式性質(zhì)可得 , 矛盾. 即 與 無(wú)共同零點(diǎn). 故(iii)得證.：如果是滿(mǎn)足初始條件的解，那么.證明：因?yàn)槭堑幕窘饩仃?，是其解，所以存在常向量使得：? 令，則：， 所以 ， 故
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