常微分方程初等解法及其求解技巧畢業(yè)論文-資料下載頁
2025-06-27 14:53本頁面
【正文】 17可以看出積分因子，21xM?因為上式兩端同乘以 ，有21x ，0)sin2cos()(2 ????ydxyydyd即 ，)cs()2()2yxx從而得到方程的通積分 .cyxyx??os2總結(jié)：總之, 研究微分方程積分因子的實質(zhì)是把求解微分方程問題轉(zhuǎn)換為尋求積分因子的方法，這種方法體現(xiàn) 了一種以退為進的創(chuàng)新思維，這種思維方式的轉(zhuǎn)變還是值得我們學習的.以上總結(jié)了常微分方程的幾種解法，熟悉各種類型方程的解法，正確而又敏捷地判斷一個給定的方程屬于何種類型，從而按照所介紹的方法進行求解，這是最基本的要求.但是我們所遇到的方程未必都恰好是所介紹過的方程類型，因此要注意學習解題的技巧，善于根據(jù)方程的特點，引進 恰當?shù)淖儞Q，將方程化 為 能求解的新類型，從而求解 .下面是幾類方程之間的關(guān)系圖：18齊次方程 ),(,/yxNMdxy?uxy?/)0(/1,??yxu(1)nyz?????dyxpeu)((dxpnyx)(1),(??可分離變量方程 )(/yNxMdy?方程伯努利方程 nqpdy)(/??全微分方程 0,),(??dQP一階線性方程 )(/xq?dyxpec???)()(/1u這樣從不同角度，用不同方法解決了同一問題，更能深刻的體會到常微分方程幾種解法之間的聯(lián)系及其巧妙之處. 幾個重要的變換技巧及實例常微分方程的求解有眾多方法，技巧性很強，有 時能用不同方法解決同一問題，因此我們也要熟悉常微分方程幾類初等解法之間的聯(lián)系及優(yōu)劣，從而能快速的找到最優(yōu)解法.下面以例題來介紹“ 變換”的技巧和規(guī)律. 變 為dxy若微分方程為（或可轉(zhuǎn)換為）,??yxgfd?當 較 簡單時，可 變變 為 ，此 時 方程變?yōu)??yxfg,f,19,??yxfgd?經(jīng)此變換后方程可能是前面所介紹的某類方程.例 求方程 的通解yxd??2解 令 ， ，因此原方程不屬于前面所介紹的各類方程，??f,??yxg2,但 ，??xyxf21,??所以，xyd?方程屬于伯努利方程. 令 ， ，方程變?yōu)?.2xz?39。 1??yzd解之得.)(ln)(2 cycyezxdxy ??? 分項組合法組合原則分項組合法的關(guān)鍵在于組合，組合的原則為：(1) 分項后，若存在只與 和 相關(guān)的項，或只與 和 相關(guān)的項，應為獨立項，dxdy不與其它項組合.(2) 所有微分相關(guān) 項組合成一項.例 求方程 的通解.0)32(143???dyxyedx解 求解過程如下(1) 拆項 .dyxyedxyxyedx 4343 321)2(1 ?????(2) 組合 與 相關(guān)，應單獨為一項， ， ，ye2 43?????????y1?x20和 為全微分相關(guān) 項，應組合成新的一項 .3ydxy4?(3)將方程轉(zhuǎn)換 成分組全微分方程因為 ， ，所以原方程轉(zhuǎn)化為22yyde?????????3431yxdx,0)(3322 ???yxeey通解為.cyxe??32 積分因子選擇總所周知，當微分方程為非恰當?shù)臅r需借組積分因子將其轉(zhuǎn)化為恰當?shù)模⒎址匠痰臉藴矢袷綖?,??????0,12311????????????nininiyqxgyxfdyxu其中 ， ， . 通常稱為積 分因子，一般常微分方程需 經(jīng)過01?n2?03),(?.????cyqxgyxfninini?????12311,解常微分方程時，積分因子是重新組合后各項的公因子，解題關(guān)鍵仍在于組合.例 求方程 的通解.??022??xydx解 ，xydy2 ?? (1) 分項重新 組合：因為 獨立微分項， 應為單獨一項；(2) 找積分因子: 前的函數(shù)是冪函02?xd dx數(shù)，但符號為負， 前的函數(shù)是冪函數(shù)符號為正， y，ydxyxyx 222)(1????21所以積分因子為 .由此有21y?,0ln)2( 22 ?????yxdxydd所以通解為.cyx??2ln歸納起來，在我們求解已解出導數(shù)的常微分方程時，常常根據(jù)所給方程的結(jié)構(gòu)特點，設法做出適當變換，將其化 形式出現(xiàn)的常微分方程是， 將使得方程的解答相對比較簡練快捷.參考文獻[1] 王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松等．常微分方程（第三版）[M] ．北京：高等教育出版社，2022：3060.[2] 許敏偉，吳炳華. 變量代換法在求解微分方程問題中的應用 [J]. 徐州教育學院學報， 7172.[3] [J] .雁北師范學院學報 , 1999（6）：4445. [4] [J] .南昌教育學院學報 , 2022, 22(1)：3135.[5] [J] .新疆師范大學學報 (自然科學版) ,2022, 25(1)：103109.[6]孫清華，李金蘭，﹑方法與技巧 [M] 武漢：：810.[7] 潘鶴鳴．幾種特殊類型積分因子的求法及在解微分方程中的應用[J] ．巢湖學院學報，2022（3）：1822．[8] [J] .湖南商學院學報 , 2022, 22(1)：7374.[9] 吳淼生．關(guān)于非恰當方程 積分因子的求法 [J]．宜春師專學報，1994（2）：150MdxNy??23．[10] 徐勝林.《常微分方程》例題分析[J] .高等函授學報（自然科學版） ,2022,18(02):2223.22致 謝本次畢業(yè)論文是在老師的精心指導下完成的，在論文的構(gòu)思和寫作過程中，首先要感謝楊潔老師對我的細心指導 ．從楊老師身上，我不 僅學到了治學的嚴謹精神，而且也學到了做人的態(tài)度，這讓我受益匪淺 .所以，在此我要向楊老師表示最衷心得感謝和最深厚的敬意．然后也要感謝張芳老 師、申進老師以及大學期間的所有任課老師，感謝他們的教導與幫助．同時，我想感謝我的父母，感謝他們對我多年的養(yǎng)育之恩．他們給了我溫暖的家和無私的愛，沒有他們二十多年來的關(guān)心和支持，我無法想象自己能夠順利地完成學業(yè)．由于這次撰寫畢業(yè)論文的時間較短，加上本人的水平有限，所以論文還有許多的不足之處．在此也懇請各位專家和教授 給予批評與指導．最后向所有關(guān)心和幫助過我的老師和同學表示由衷的感謝．
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