【文章內(nèi)容簡介】 ville 導(dǎo)數(shù) .如果假 設(shè) f 是 RRI ?? 上的連續(xù)函數(shù)，且存在非負(fù)函數(shù) )(ta 與 )(th ，滿足 01 )()(|),(| thtaxtf ?? , ]1,0[)( Lta ? , )(th 為 R 上的連續(xù)函數(shù)； 02 ||()lim ||xhx Ax?? ?. 那么邊值問題（ 1）至少存在一個解 . 分析 存在一正實(shí)數(shù) p ，使得 10 ( , )G t s ds p?? ，可 取 10m a x ( , ) ( )tIk G t s a s ds?? ?，其中 )1,0()( Lsa ? 是非負(fù)函數(shù) .可令 ]}1,0[|)({ CutuU ?? ， || ( ) || m a x | ( ) |X tIu t u t?? . 定義算子 XXT ?: ,令 10( ) ( , ) ( , ( ) ) ( )Tu t G t s f s u s d s u s??? 則分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題（ 1）有解等價 于 方程 uTu? 有不動點(diǎn) . 證明 可取 )|| )(lim(21|| xxhAx ?????， 對 02 中 1 0d??時 ， 便有 ( ) ( ) | |h x A x??? ，取 m a x { ( ), | | }M h x x d??， 21dd? ， 宿州學(xué)院畢業(yè)論文 一類分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性 8 因此 ???AdM2，所以有 ||)()( xAxh ??? ， 2|| dx? ，所以對 2dC?? ，得 ( ) ( )h x A C??? ,||xC? . 下面證明 T 為 連續(xù)算子 對 ,nu u U? ，并且 || || 0 , ( )nu u n? ? ? ?時， 有 1100| ( ) ( ) | ( , ) ( , ( ) ) d ( , ) ( , ( ) ) dnnTu t Tu t G t s f s u s s G t s f s u s s? ? ??? 10 ( , ) ( ( , ( ) ) ( , ( ) ) ) dnG t s f s u s f s u s s??? 10m a x | ( , ( ) ) ( , ( ) ) | | ( , ) | dntI f t u t f t u t G t s s??? ? m a x | ( , ( ) ) ( , ( ) ) |ntI f t u t f t u t???. ?? ?? ???????? ?? ???? ????? 1 210 211 )1( )1()1( )1()( )( t aat aaa dsa stdsa stast m a x | ( , ( ) ) ( , ( ) ) |ntI f t u t f t u t??? ???????? ????? )()1( atat aa 2 m a x | ( , ( ) ) ( , ( ) ) |( 1 ) ntIa f t u t f t u ta?????， 所以 T 為連續(xù)算子 . 下面再證明 :T U U? ，對于 ? Uu? ，由條件 01 ， 得 1100| ( ) | ( , ) ( , ( ) ) d | | ( , ) ( ( ) ( ( ) ) ) | dTu t G t s f s u s s G t s a t h u s s? ? ??? 1 1 120 0 0| ( , ) ( ) | d | ( , ) ( ( ) ) | d ( ) | ( , ) | dG t s a s s G t s h u s s k A d G t s s?? ? ? ? ?? ? ? 2()k A d p?? ? ? ? 因此， UUT ?: . 最后再證明 T 為全連續(xù)的 . 令 m ax | ( , ( )) |tIM f t u t?? 12 1 2 10| ( ) ( ) | | ( ( , ) ( , ) ) ( , ( ) ) | dTu t Tu t G t s G t s f s u s s? ? ?? 1210| ( ( , ) ( , ) ) | dM G t s G t s s??? 宿州學(xué)院畢業(yè)論文 一類分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性 9 1212 1 2 10[ ( ( , ) ( , ) ) | d ( ( , ) ( , ) ) | dtt tM G t s G t s s G t s G t s s? ? ? ??? 21 21( ( , ) ( , ) ) | d ]t G t s G t s s??? 1 1 1 2 1 22 1 2 10( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )[ ( ) d( ) ( 1 )a a a a at t s t s t s t sMsaa? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ?? 2121 1 1 2 1 1 2 1 112 1 2 2 1( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )[ ( ) d d ]( 1 ) ( ) ( 1 )a a a a a a a a atttt s t s t s t s t sM s sa a a? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ??? 12 1 1 1 2 1 211 2 2 10 0 0( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )[ d ( d d ]( ) ( ) ( 1 )a a a a a attt s t s t s t sM s s sa a a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? 2 11111 1 221210 0 01[ ( ( ) d ( ) d ) ( 1 ) d ]( ) ( 1 )aat a a attM t s s t s s s saa ??? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 112 1 2 1[]( ) ( 1 ) ( 1 )a a a at t t tMa a a a??????? ? ? ?， 因?yàn)?1,aatt? 均 是 ]1,0[ 上一致連續(xù)的函數(shù)，因此 TU 為等度連續(xù)，又因?yàn)?UTU? ,所以 T 是一致有界的 .所以有 T 為全連續(xù) . 因此 ， 應(yīng)用 Schaulder 不動點(diǎn)定理有，邊值問題 (1)至少存在一個解 . 解 存在的 幾個充分條件 在實(shí)際的應(yīng)用中，對于解決多點(diǎn)邊值問題的求解問題 .常常用不動點(diǎn)的理論和壓縮映像原理來處理一類分?jǐn)?shù)階微分方程 m 點(diǎn) 邊值問題解的存在性的問題，將方程的求解問題轉(zhuǎn)化為映射的不動點(diǎn)進(jìn)行處理，從而可以得到 該分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題至少存在一個解的幾個充分條件 . 下面利用不動點(diǎn)定理討論非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題 ( 2 )21( ) ( , ( ) ) 0 , 0 1 ,( 1 , ) ,( 0) 39。( 0) ( 0) .. . ( 0) 0 ,( 1 ) ( ) ,anmiiiD x t f t x t ta n nx x x xxx ?????? ? ? ? ?? ????? ? ? ? ? ??? ???? （ 1） 解的存在性，其中 1 2 22 , 2 , 0 ...... 1 ,min m R? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?， :[0,1]f R R??為連續(xù)的函數(shù) . 定理 設(shè) X 是 Banach 空間，映射 :T X X? 是一個全連續(xù)映射，集合 宿州學(xué)院畢業(yè)論文 一類分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性 10{ | , 0 1}V u X u T u??? ? ? ? ?是有界集，則映射 T 中存在不動點(diǎn) . 定理 設(shè) X 是 Bana