【正文】 微分方程 習(xí)題 167。 1 基本概念 1. 驗(yàn)證下列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解 . （ 1） yxyyxCyxyx ??????? 2)2(,22 （ 2） ? ??????y 0 222t )(,1e yyyxdt 2..已知曲線族，求它相應(yīng)的微分方程（其中 21 C , ,CC 均為常數(shù)） （一般方法：對(duì)曲線簇方程求導(dǎo)，然后消去常數(shù)，方程中常數(shù)個(gè)數(shù)決定求導(dǎo)次數(shù) .） （ 1） 1)( 22 ??? yCx ； （ 2） xCxCy 2c o s2sin 21 ?? . 3．寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。 （ 1）曲線在 ? ?yx, 處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方。 （ 2）曲線在點(diǎn) P? ?yx, 處的法線 x 軸的交點(diǎn)為 Q,， PQ 為 y 軸平分。 （ 3）曲線上的點(diǎn) P? ?yx, 處的切線與 y 軸交點(diǎn)為 Q, PQ 長(zhǎng)度為 2，且曲線過點(diǎn)（ 2， 0）。 167。 2 可分離變量與齊次方程 （ 1） 22 11 yyx ???? ； （ 2） 0ta ns e cta ns e c 22 ???? x d yyy d xx ； （ 3） 23 xyxydxdy ?? ； （ 4） 0)22()22( ???? ?? dydx yyxxyx . 2．求下列微分方程的特解 （ 1） 0 , 02 ??? ?? xyx yey ； （ 2）21 , 12 ???? ?xyyyyx 3. 求下列微分方程的通解 （ 1） )1(ln ???xyyyx； （ 2） 03)( 233 ??? dyxydxyx . 4. 求下列微分方程的特解 （ 1） 1 ,022 ??? ?xyyx xydxdy； （ 2） 1 ,02)3( 022 ???? ?xyx y d xdyxy . 5. 用適當(dāng)?shù)淖儞Q替換化簡(jiǎn)方程，并求解下列方程 （ 1） 2)( yxy ??? ； （ 2） )ln(ln yxyyyx ???? （ 3） 11 ???? yxy （ 4） 0)1()1( 22 ????? dyyxxyxdxxyy 6. 求一曲線，使其任意一點(diǎn)的切 線與過切點(diǎn)平行于 y 軸的直線和 x 軸所圍城三角形面積等于常數(shù) 2a . 7. 設(shè)質(zhì)量為 m 的物體自由下落，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)開始下落時(shí) )0(?t 速度為 0，求物體速度 v 與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系 . 8. 有一種醫(yī)療手段，是把示蹤染色注射到胰臟里去，以檢查其功能 .正常胰臟每分鐘吸收掉%40 染色，現(xiàn)內(nèi)科醫(yī)生給某人注射了 染色， 30 分鐘后剩下 ，試求注射染色后 t 分鐘時(shí)正常胰臟中染色量 )(tP 隨時(shí)間 t 變化的規(guī)律，此人胰臟是否正常？ 100L 的鹽水，其中含鹽 10kg，現(xiàn)以每分鐘 3L 的速度注入清水，同 時(shí)又以每分鐘 2L 的速度將沖淡的鹽水排出，問一小時(shí)后，容器內(nèi)尚有多少鹽？ B A P(x,y) 167。 3 一階線性方程與貝努利方程 1．求下列微分方程的通解 （ 1） 2xxyy ???； （ 2） 0c o s2)1( 2 ????? xxyyx ； （ 3） 0)ln(ln ??? dyyxy d xy ； （ 4）)(ln2 xyyy ???； （ 5） 1sin4 ?? ? xedxdy y 2．求下列微分方程的特解 （ 1） 0 ,s e cta n 0 ???? ?xyxxyy ； (2) 1|,s in0 ???? ?xyx xxyy 3．一 曲線過原點(diǎn)，在 ) ,( yx 處切線斜率為 yx?2 ，求該曲線方程 . 4．設(shè)可導(dǎo)函數(shù) )(x? 滿足方程 ? ??? x0 1s i n)(2c os)( xt dttxx ?? ，求 )(x? . 5．設(shè)有一個(gè)由電阻 ??10R ，電感 HL 2? ，電流電壓 tVE 5sin20? 串聯(lián)組成之電路，合上開關(guān)，求電路中電流 i 和時(shí)間 t 之關(guān)系 . 6．求下列貝努利方程的通解 (1) 62 yxxyy ??? （ 2） xyxyy ta nco s4 ??? （ 3） 0ln2 ??? yxxdydxy （ 4） 212 1 xyx xyy ???? 167。 4 可降階的高階方程 。 (1)y y x?? ???； （ 2） 122 ????? x yxy ； 2(3) 2 0yy y?? ???? ? 341yy??? ? ? 2 , 0 , 1xxy y y y???? ? ?? ? ? ?求 下 列 方 程 的 特 解 （ 2） 0 ,0 ,2 002 ???????? ??? xxx yyeyxy 3．求 xy?? 的經(jīng)過 )1 ,0( 且在與直線 12??xy相切的積分曲線 4． 證明曲率恒為常數(shù)的曲線是圓或直線 . 證明： 0,0(,)1( 232 ????? ?? KKKyy可推出 y 是線性函數(shù)； K 可取正或 負(fù) 5．槍彈垂直射穿厚度為 ? 的鋼板，入板速度為 a ，出板速度為 b )( ba? ，設(shè)槍彈在板內(nèi)受到阻力與速度成正比，問槍彈穿過鋼板的時(shí)間是多少？ 167。 5 高階線性微分方程 1. 已知 )( ),( 21 xyxy 是 二階線性微分方程 )()()( xfyxqyxpy ?????? 的解 ，試證)()( 21 xyxy ? 是 0)()( ?????? yxqyxpy 的解 )()()( xfyxqyxpy ?????? 的三個(gè)特解 xeyxyxy 33221 , , ??? ，試求此方程滿足 3)0( ,0)0( ??? yy 的特解 . 3．驗(yàn)證 1 ,1 21 ???? xeyxy 是微分方程 1)1( ??????? yyxyx 的解，并求其通解 . 167。 6 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 （ 1） 02 ?????? yyy ； （ 2） 0136 ?????? yyy ； （ 3） 044 ?????? yyy ； （ 4） 02)4( ????? yyy . 2．求下列微分方程的特解 （ 1） 10y ,6 ,034 0x0 ????????? ??xyyyy （ 2） 5y ,2 ,025 0x0 ??????? ??xyyy （ 3） 3y ,2 ,0134 0x0 ????????? ??xyyyy l ，質(zhì)量為 m ，開始時(shí)偏移一個(gè)小角度 0? ，然后放開，開始自由擺動(dòng) .在不計(jì)空氣阻力條件下，求角位移 ? 隨時(shí)間 t 變化的規(guī)律 . 4. 圓柱形浮筒直徑為 ，鉛垂放 在水中，當(dāng)稍向下壓后突然放開，浮筒周期為 2s，求浮 筒 質(zhì) 量 . 。 6m 的鏈條自桌上無摩察地向下滑動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，鏈條自桌上垂下部分長(zhǎng)為 1m，問需多少時(shí)間鏈條全部滑過桌面 . P mg ? l O x )(tp O )(tx x 167。 7 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 （ 1） xxeyyy ??????? 323 ； （ 2） xyyy 2345 ??????? ； （ 3） xxyy cos4 ????? ； （ 4） xyy 2sin???? ； （ 5） )4(2 ?????????? xexyyy . 2．求下列微分方程的特解 （ 1） 2( 0 )y ,6)0( ,523 ????????? yyyy ； （ 2） 1)(y ,1)( ,02s in ???????? ??yxyy )(xf 滿足 ? ??? xx dttfxtexf 0 )()( )( 求 )(xf . m 的質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沉入水中，下沉?xí)r水的反作用力與速度成正比（比例系數(shù)為k ），求此物體之運(yùn)動(dòng)規(guī)律 . ，起動(dòng)時(shí)一端離開釘子 8m，另一端離開釘子 12m，若不計(jì)摩擦力，求鏈條全部滑下所需時(shí)間 . O )(tx P ? 、初速 0v 發(fā)射炮彈，若不計(jì)空氣阻力，求彈道曲線 . 167。 8 歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組 （ 1） 323 22 xyyxyxyx ?????????? ； （ 2）xxyxyy 22 ??????. 2． 求下列微分方程組的通解 （ 1）??????????????33yxdtdydtdxyxdtdydtdx （ 2）?????????????00432222yxdt ydyxdt xd ? ))(),(()( tytxtp ? x y O )(tx P x 自測(cè)題 。 （ 1）xyxyy tan???； （ 2） 0)2( 2 ??? dyxyxyd x ； （ 3）xxyy yy ???? 222 ； （ 4） xxyy 2sin????? . 2． 求連續(xù)函數(shù) )(x? ，使得 0?x 時(shí)有 ? ?1 0 )(2)( xdtxt ?? . 3．求以 xexxCCy 2221 )( ???? 為通解的二階微分方程 . 4．某個(gè)三階常系數(shù)微分方程 0?????????? cyybyay 有兩個(gè)解 xe 和 x ，求 cba , , . 5．設(shè) )()( xfyxpy ????? 有一個(gè)解為 x1 ，對(duì)應(yīng)齊次方程有一特解 2x ，試求： （ 1） )( ),( xfxp 的表達(dá)式； （ 2）該微分方程 的通解 . 6． 已知可導(dǎo)函數(shù) )(xf 滿足關(guān)系式： 1)(1)( )( 1 2 ???? xfdttf tfx求 )(xf . 7． 已知曲線 )(xyy? 上原點(diǎn)處的切線垂直于直線 012 ??? yx ，且 )(xy 滿足微分方程xeyyy x 2c o s52 ?????? ，求此曲線方程 . 微分 方程 習(xí)題答案 167。 1 基本概念 1． 驗(yàn)證下列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解 . （ 1） yxyyxCyxyx ??????? 2)2(,22 yxyyx yyyxyx ???? ?????? 2)2(: 022::移項(xiàng) 求導(dǎo)解 故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解 （ 2） ? ??????y 0 222t )(,1e yyyxdt . 解：隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo) 0122 ???? ye y 方程兩邊再對(duì) x 求導(dǎo) ? ? 0][22 ???????? yyyye y 指數(shù)函數(shù)非零，即有 2)(yyy ???? 故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解 2．已知曲線族，求它相應(yīng)的微分方程（其中 21 C , ,CC 均為常數(shù)） （一般方法：對(duì)曲線簇方程求導(dǎo)，然后消去常數(shù)，方程中常數(shù)個(gè)數(shù)決定求導(dǎo)次數(shù) .） （ 1） 1)( 22 ??? yCx ； ? ?102)(2:222 ???????????yyyyycxyycx代入原方程得解出求導(dǎo)得 （ 2） xCxCy 2c o s2sin 21 ?? . 04:,2c o s42s i n4:)2s i n(22c o s2:212121?????????????yyccxcxcyxcxcy得消去再求導(dǎo)得求導(dǎo)得 3．寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。 （ 1）曲線在 ? ?yx, 處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方。 解：設(shè)曲線為 y = y ( x )則曲線上的點(diǎn) ? ?yx, 處的切線斜率為 y? ，由題意知所求方程為2xy?? （ 2）曲線在點(diǎn) P? ?yx, 處的法線 x 軸的交點(diǎn)為 Q,， PQ 為 y 軸平分。 解：曲線上的點(diǎn) ? ?yx, 處法線方程： ? ?1Y y X xy? ? ? ??。 故法線 x 軸的交點(diǎn)為 Q 坐標(biāo)應(yīng)為 ? ?,0yy x?? ，又 PQ 為 y 軸平分，故 ? ?1 02 yy x x?? ? ?????， 便得曲線所滿足的微分方程：