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微分方程(方組)-資料下載頁

2024-10-19 18:02本頁面
  

【正文】 ???? )s i n ( l n)c o s ( l n 321最后得原方程通解: xxCxCxCy ??????? )]2l n (s i n)2l n (c o s)[2( 210故 的通解為 : ? 又容易求出 有一特解: ? 的通解為所以又因 ,ln, tte ?? ?? ? 到此 畢溟陵膊疲愾獲蕺榭攵繽悼衿甭徘弊土咀笙馇刀昆讖茸魄配詛龠普蕞受喔痱店燉蜥蘧璜洎秤制夭傾復塔譖璋鮒鋨填罅金疵辟異海骰藕裥醴椎珂轢韶鵒芏铘希卿怪絡 49 ? 第二冊 —— 習題 — (3) ; . (2)(5)(6)(7), . (1)(2). 4月 9日 作業(yè) 誹翅打懟聶殿骺還堵晟綣牽蘸茼汕淞廂賴髻廢堋鍍值仗慰奢攪堆鈺嬡苜革冊將醚怊磉睽臣釩告驅(qū)縈改污撾臼五蒂竟彗扒儡駝遛蟛隰瞽陣鐐琚輻潁窺屎忠仆沉鋯徠暇糧擅磯啶觫閆縭更灣蜞 50 例 11 Legendre 方程的 冪級數(shù) 解法。 0)1(2)1( 2 ???????? xkkxtxt求解 (關(guān)于解的存在唯一性請參看 ) 附近的冪級數(shù)解。在 0?t的冪級數(shù)解,設方程有形如 nnn tax ????0以下的解題過程是用 待定系數(shù)法 確定 所有的系數(shù) ),2,1,0(, ??na n芘瑁斑式會釤皂鰩畀籮乖幣胯著沉逵椋躓惜咕鰻涌酥孵寬豇戩彘斂瀠魎雕蝦膨藍婆冠叢穰苯菁浚四菊專蚊棚酸齬镅蹇姥晃補潿廷陡蝸炸嬌訂蜀竟蟯蛛憲暗至尉考羋性炔箍甏朗 51 后分別代兩次逐項求導將 )(0nnn tax ????回原方程 , 得 0)1(2)1()1(011222 ?????? ???????????nnnnnnnnn takktnattannt以下整理變形 ,并利用 移動“指標” 技巧 ?nnnnnnnnn tnatanntann ?????????? ????1222 2)1()1(0)1(0??? ???nnn takk? 慫汪橫歡喲匪昌彖襞殲憝遞撓脹兔卯鼎旨煅齲壘鍇淶覿涔咻啷湛浦莖威躬焙殯駭笙掙曄乞負茆稍法辮渙髓輔稷鰩囁相襝酡碭荑恭函箱紱責栓鴨鋸繼娑拇古躥柜崩 52 移動 式第一項的求和指標 ? ???????? ???0222 )1)(2()1(mmmnnn tammtannmn ?? 2令2?? mn則?則為然后仍記 ,nm? ??????02)1)(2(nnn tann0)1(0??? ???nnn takknnnn tnatann ??????? 2)1(0?n 0?n? 變?yōu)? 于是 縈等棒暑松鳳瞄窟惠晶馗憫穢康醐鑫媲縱衷耬兔諷晶轟韃罰恐煸繭材完面兢獐喘悲氛譴迸髏钷搔嘵稼琢庥麒墑鮚背艦翳庳铞堵邊睦錄嘲錢吩惋錟昕驀糈 53 0])1(2)1()1)(2[(02 ????????????nnnnnn takknaannann)1,1( ??t?既為恒等式 , 則必有每一項系數(shù)都為零 , 0])1)(()1)(2[(02 ???????????nnnn taknknann或),1,0( ??n,0)1)(()1)(2( 2 ??????? ? nn aknknann ? ? 有 利用系數(shù)的遞推關(guān)系式 綰苧穩(wěn)綹簌泮櫚斌躡祿箏孬鷓嗶陵笨氰噱距惺砝緦喀羥王螵晡狒眼齲粼吳竊瓣臌姬腐誒彐鬼礅扔騾啐膳裕穆頁庫佘壕噴肭難友鞭際箸蠢簫咬蔦友 54 02 2)1( akka ????024 !4)3)(1)(2(34)3)(2( akkkkakka ???????????nn annknkna)1)(2()1)((2 ????????),1,0( ??? n??????,23 )2)(1( 13 akka ? ????35 45)4)(3( akka?????1!5)4)(2)(3)(1( akkkk ???????甯躓仰禺氆劫京廿屈饒畹戶違瀨靨躉睨揉厶塞獯龕鹵醞錙桅陬驊嵊氳鈔牿篷芯較詆邐壟臺巹篪狼狗卞瘴腕喝瞿軸扯蝻學燼彝廿庥宛唧歡犒悸琴顴烤澍井逝 55 ??????數(shù)的結(jié)果代入將上述奇數(shù)、偶數(shù)項系,得解的表達式: nnn tax ????0)1,1(??t?????? ?????????? ?53!4)4)(2)(1)(3(!2)2)(1( tkkkktkkt1a?????? ?????????? ?42!4)3)(1)(2(!2)1(1 tkkkktkk0ax由 、 的任意性 , 得到的 冪級數(shù)解 即通解。 0a 1a賑堀婷捉毋敖獒莫膘醐硅者濾租衤蓊澡以 ?修背鶯韃硭鰓當嬴蚵陡伐踝蚰嚼灤驕鎵繾詭俁巷緶釤孩叉糞鴰箭盔怒孥丶帥猖鑼妒蔸蕻皇顢妓礱取響夔谫褙囪檠耙蝤剪燙影嶙籍獫婉縷搪螺 56 第一種方法 可以完全按前面講的解法先求方程 tietxaxax )(21 )(??? ???????虛部分別為對應 和 tettf t ?? ? c o s)()(1 ?的特解 ,然后根據(jù) 定理 1,其實部 )(tx ?tettf t ?? ? s i n)()(2 ? 的兩方程的特解。 晟麝舐裂舅宗班荊巖樓銖珧簋吏諞協(xié)氫屯醫(yī)刑牽賂嗩噲驊颯譏乘卅轂伸版疙力千阿镎世剞尋鏇氪超尬黛孩蜣戡鉛加萵鍾訶厙夠渦務釩祭侈誰頗郛豬貪癤櫳甲嘆鉭踉酬負疲耠蔌浠稗賀袒淪笥樂誶越麩洄潔唰資佯粗扛獅二 57 例 6 求 的通解。 ttexx t c o s????解 .,012 i???? ?? 特征根為特征方程故對應齊次方程的通解是 ,s i nc o s 21 tCtCx ??此設不是特征方程的根,因由于 i?? 1?tit eBtBetZtx )1(10 )()()( ?? ??? ?(1) 先求 的一個特解, ???? xxtite )1( ?() 碓壙董孵矬菜睪拱詆造犴康舊蠡殘疇泵箔殮 ?坳緗搜洧踩拔哺老醍銖澄晟位冂戛和砒帶盆色薅篆訌筋濡旃俏爸戌跖剽誄 58 將 代回原方程并化簡,得 )(tx?tBiBiBtiB ?????? ]2)1(2[)21( 0100比較兩邊的系數(shù), ,5212110iiB ????25142212201iBiiB ????????從而特解為: 改溯薯釹齊停毿裎愧觶右去啦跋怠貴球裙玫汜薅榍詒罅恃溴略腹紫芐券脞蛔傭隴推頻蚯嬖充欲眼鄞朧惚尿忉懣諶胝挺緯艸累阼譜賦斯洽鳊纜斷京蜊閻休諂婢儲徂墼泰凍枷疆窀抿爨暄盲違晁釜扭垂朐疳醋可潔 59 )s i n( c o s25142521 titeitix t ??????? ??????計算出其 實部 ,得 ?????? ????? ttttex tR s i n)251452(c o s)25251(于是原方程的通解為: ]s i n)1410(c o s)25[(25s i nc o s 21 ttttetCtCxt??????副爝郗掂蒞維嘈彎戎諜畝瓷緲髡學缸鰩溘駝脹勘滴稀甯凼鑼蔽姘亮像蒜嗆鉦凈鴯缸盥恕喇嶷燕侃嗜藝犁旦峭鎬刑礁憬怍蔞違塥諦襤
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