積分變換與微分方程-資料下載頁
2024-10-16 20:10本頁面
【正文】 =D[u[x,y],y] uxx(x,y)=D[u[x,y],x,x]； uxy(x,y)=D[u[x,y],x,y] uyy(x,y)=D[u[x,y],y,y] 一階偏微分方程的通解 求 yux+xuy=xy的通解 Mathematica命令為 In[14]:=DSolve[y*D[u[x,y],x]+x* D[u[x,y],y]==x*y, u[x,y],{x,y}] Out[14]={{u[x,y]→ 1/2 (x2+2 C[1][1/2 (x2+y2)])}} 取 C[1]=xy, u=1/2 (x^2+2 (xy)(1/2 (x^2+y^2))) Plot3D[u,{x,3,3},{y,4,4}] 二階偏微分方程的通解 求 uxx4uyy=9的通解 Mathematica命令為 In[15]:=DSolve[D[u[x,y],x,x]+4D[u[x,y],y,y]==9, u[x,y],{x,y}] Out[15]={{u[x,y]→ (9 x2)/2+C[1][2 x+y]+C[2][2 x+y]}} 取 C[1]=x,C[2]=y, u= (9 x^2)/2+x(2 x+y)+y(2 x+y) Plot3D[u,{x,3,3},{y,4,4}] ? 偏微分方程的數(shù)值解 常用格式： NDSolve[{偏微分方程，定解條件 },u, {x,x0,x1}, {t,t0,t1}] u為待求函數(shù)， {x,x0,x1}指明自變量 x的范圍，{t,t0,t1}指明自變量 t的范圍 ? 求弦振動方程 uxx4utt =0滿足以下定解條件的特解 邊界條件： u(0,t)=0, u(π,t)=0 初始條件： u(x,0)=sinx, ut(x,0)=0 Mathematica命令為 In[21]:=NDSolve[{D[u[x,t],x,x]?4D[u[x,t],t,t]==0, u[0,t]??0,u[Pi,t]??0,u[x,0]??Sin[x],Derivative[0,1][u][x,0]==0},u,{x,0,Pi}, {t,0,60}] Out[21]={{u→ InterpolatingFunction[{{0.,9},{0.,60.}},]}} 利用上面所得數(shù)值結(jié)果，可以繪制 u=u[x,t]的 圖形如下： Plot3D[Evaluate[u[x,t]/.First[%]],{x,0,Pi},{t,0,60},PlotPoints →20 ] ? 求熱傳導(dǎo)方程 ut=uxx滿足以下定解條件的特解 邊界條件： u(0,t)=0, u(2,t)=0 初始條件： u(x,0)=x(2x) Mathematica命令為 In[21]:=NDSolve[{D[u[x,t],t]??D[u[x,t],x,x], u[0,t]??0,u[2,t]??0,u[x,0]??x(2x)},u,{x,0,2}, {t,0,1}] Out[21]={{u→ InterpolatingFunction[{{0.,2.}, {0.,1.}},]}} 利用上面所得數(shù)值結(jié)果，可以繪制 u=u[x,t]的 圖形如下： Plot3D[Evaluate[u[x,t]/.First[%]],{x,0,2},{t,0,1}, PlotPoints →20 ]
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