【正文】 握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經解：令，則微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經令 即 微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經方程變?yōu)椋? ，令 代入，得微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經，積分，得 ，由 代回，得微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經通解為： （其中為任意常數(shù)）微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經167。 一階線性微分方程微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經一、內容要點：微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經 一階線性微分方程的形式及求解公式，伯努利方程的形式及解法微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經本單元的講課提綱微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經 （1）講線性非齊次的一階方程的解法時，要交待變易常數(shù)的想法并加強練習，這對今后講二階線性方程和線性方程組的常數(shù)變易法是有益的。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經 （2）導出線性非齊次一階方程的求通解公式以后，可順利導出滿足條件的特解公式，還應指出兩點：第一，當時，線性方程的解總可通過兩次積分求得，第二，揭示通解結構。重點是解線性非齊次方程的公式法與常數(shù)變易法。難點是伯努利方程。關鍵是套求解公式或常數(shù)變易法及湊微分或令z解伯努利方程。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經二、教學要求和注意點微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經知道解一階線性微分方程的常數(shù)變易法，并掌握一階非齊次線性方程的通解公式。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經 知道一階非齊次線性方程的通解為對應的齊次方程的通解和非齊次方程的一個特解之和微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經齊次方程與線性齊次方程的作用微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經一、 一階線性微分方程微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經定義1：稱可轉化為形式： (1)的方程為一階線性方程；若，則（1）式稱為一階線性齊次方程；，（1）式稱為一階線性非齊次方程。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經 下面我們來看看方程（1）的解的情形：先看齊次方程： （2） 顯然是可分離變量方程。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經得，兩邊積分，得 （3）為一階線性齊次方程（2）的通解。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經 下面我們求（1）的解，由方程（1）和（2）形式的相似性，那它們的解也具有某種相似性。我們用一種常數(shù)變易法來求（1）的解：假設為非齊次方程(1)的解，代入方程，得微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經則， 微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經積分，得 微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經則 （4）即為方程（1）的通解。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經【例1】求的通解。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經解：由于為一階線性非齊次方程，且，代入（4），得其通解為微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經 ＝微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學目標及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。會用降階法解下列方程：。理解二階線性微分方程解的性質以及解的結構定理。掌握二階常系數(shù)齊次線性微柞寓戒箕片頓憎推類摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤暈信般埠認箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認六鷗斟內謗撰經[例2] 求的通解。微