微積分x08-1-2-3一階微分方程-資料下載頁(yè)
2025-01-12 11:26本頁(yè)面
【正文】 設(shè)其通解為 ),( 1Cxp ??則得 ),( 1Cxy ???再一次積分 , 得原方程的通解 21 d),( CxCxy ?? ? ?二、 例 . 求解 yxyx ????? 2)1(2,10 ??xy 3 0 ?? ?xy解 : 代入方程得 pxpx 2)1( 2 ???分離變量 積分得 ,ln)1(lnln 12 Cxp ???,3 0 ?? ?xy利用 ,31 ?C得 于是有 )1(3 2xy ???兩端再積分得 23 3 Cxxy ???利用 ,10 ??xy ,12 ?C得133 ??? xxy因此所求特解為 例 4. 繩索僅受 重力作用而下垂 , 解 : 取坐標(biāo)系如圖 . 考察最低點(diǎn) A 到 ( ? : 密度 , s :弧長(zhǎng) ) 弧段重力大小 按靜力平衡條件 , 有 M ?sg?oyx)( gHa ??其中y? xyx d102? ??a1?故有 211 yay ?????設(shè)有一均勻 , 柔軟的繩索 , 兩端固定 , 問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ? 任意點(diǎn) M ( x, y ) 弧段的受力情況 : T A 點(diǎn)受水平張力 H M 點(diǎn)受切向張力 T 兩式相除得 HA21 1 yy a ?????,aOA ?設(shè) 則得定解問題 : ),( xpy ??令 ,dd xpy ???則 原方程化為 兩端積分得 )1(lnshAr 2ppp ???,shAr 1Cp ax ?? ,01 ?C得則有 兩端積分得 02 ?C得故所求繩索的形狀為 axay ch? )(2axax eea ???三、 ),( yyfy ???? 型的微分方程（不顯含 x) 令 ),( ypy ?? xpy dd???則 xyyp dddd ??故方程化為 設(shè)其通解為 ),( 1Cyp ?? 即得 分離變量后積分 , 得原方程的通解 例 . 求解 代入方程得 兩端積分得 ,lnlnln 1Cyp ?? ,1 yCp ?即(一階線性齊次方程 ) 故所求通解為 解 : xpy dd???則 xyyp dddd? ypp dd?M : 地球質(zhì)量 m : 物體質(zhì)量 例 . 靜止開始落向地面 , 求它落到地面時(shí)的速度 (不計(jì)空氣阻力 ). 解 : 如圖所示選取坐標(biāo)系 ,由萬有引力定律 . ?22ddtym2yMmk?,0 ly t ?? 00 ?? ?ty,dd tyv ?設(shè) tvt y dddd 22?則代入方程得 積分得 一個(gè)離地面很高的物體 , 受地球引力的作用由 yoRl,1122 ?????? ??lyMkv,0 000 lyyv ttt ???? ???利用 lMkC 21 ??得注意“－”號(hào) 由原方程可得 因此落到地面 ( y = R )時(shí)的速度 ?22ddtym2yMmk?例 . 解初值問題 解 : 令 ???02 ???? yey,00 ??xy 10 ?? ?xy),( ypy ?? ,dd yppy ???則 代入方程得 積分得 1221221 Cep y ??利用初始條件 , ,0100 ???? ?? xy yp,01 ?C得 根據(jù) yepxy ??dd積分得 ,2Cxe y ??? ? ,00 ??xy再由 12 ??C得故所求特解為 xe y ?? ?1得 例 已知曲線 ,它的方程 y=f(x)滿足微分方程 12 ????? yyy并且與另一條曲線 y=ex 相切于點(diǎn) (0,1), 求此曲線的方程 . 解 ∵ 曲線滿足初值問題 1,1,1 002 ????????? ?? xx yyyyy1, 2 ??????? pdydpypdydppypy 則令 . 分離變量、積分 1,11,lnln)1l n (211212 ???????? pycpcyp 即∵ 上式中無滿足初始條件的解， cxydxdyp ??????? ,1,1 即∴ 考慮 滿足初始條件的解為 y=1x 12 1 24. ( ) ( 0) ( ) 0 , ( 0) 1 , ( , ),[ 0 ] ( ) , 21 ( )y x x y x y P x yx x sx y y x s s sy y x?? ? ????設(shè) 二階可導(dǎo)，且 過任點(diǎn)作切線及 軸的垂線，上述兩直線與 軸所圍成三角形面積區(qū)間 ， 以 為曲邊曲邊梯形面積記 并設(shè) 恒為，求此曲線 。)( xXyyY ????解：切線yyxXY????? 0yyyyxxys??????21 21)(21?? x dxxys 02 )(? ??? x dxxyyy 021)( 2yyy ???? pdydpy ?ycecpdyy111 ???y?xdx ececy 22 ?? ?xe?xyo xP()y y x?1 ( 99 考研 ) .0)4()5( 的通解求方程 ?? yxy解 ),()4( xPy ?設(shè)代入原方程 ,0??? PPxxCP 1?解線性方程 , 得 兩端積分 ,得 原方程通解為 )()5( xPy ??）（ ?P,1)4( xCy ?即,21 221 CxCy ????? ,??,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy ?????54233251 dxdxdxdxdy ?????例 )()( xPy k ?令 ),( )1()()( ?? nkn yyxfy ?一般情況 (5) 湊導(dǎo)數(shù)法 (恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程 ) 例 1 yy”+(y’)2+2x =0 解： (yy’)’= 2x 降階得： yy’= x2 +C1 ydy=( x2 +C1 )dx .02 的通解求方程 ????? yyy解 將方程寫成 ,0)( ??yydxd,1Cyy ??故有 ,1 dxCy dy ?即積分后得通解 .212 CxCy ??例 2 oyx)1,0(A速度 大小為 2v, 方向指向 A , )0,1(?),( yxBtv提示 : 設(shè) t 時(shí)刻 B 位于 ( x, y ), 如圖所示 , 則有 ??y xys x d112?? ???xyt x d1dd 1 2? ? ???去分母后兩邊對(duì) x 求導(dǎo) ytv ??1x?設(shè)物體 A 從點(diǎn) ( 0, 1 )出發(fā) , 以大小為常數(shù) v 例 的速度沿 y 軸正向運(yùn)動(dòng) , 物體 B 從 (–1, 0 ) 出發(fā) , 試建立物體 B 的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)滿 足的微分方程及初始條件 . 0121dd 222???? yxyx 其初始條件為 ,01 ???xy 11 ?? ??xy
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