【正文】 ts,x0,options） ode45 ode23 ode113ode15sode23s 由待解方程寫成的 m文件名 ts=[t0， tf]，t0、 tf為自變量的初值和終值 函數(shù)的初值 ode23：組合的 2/3階龍格 庫塔 芬爾格算法 ode45：運用組合的 4/5階龍格 庫塔 芬爾格算法 自變量值 函數(shù)值 用于設定誤差限 (缺省時設定相對誤差 103, 絕對誤差 106), 命令為： options=odeset（’ reltol’,rt,’abstol’,at） , rt， at：分別為設定的相對誤差和絕對誤差 . (Logistic模型、 Verhulst模型 ) Malthus 模型在 1840 年由人口統(tǒng)計學家Verhulst 修正。 2 、 增長率不是常數(shù)，隨人口增加而減少。0r和mx可由統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定。由分離變量法，解得 trmmxxxtx0e)1(1)(0???? () 人口增長率隨人口數(shù)量變化曲線以及人口數(shù)量隨時間變化曲線如下 圖 3 1 人口增長率和人口數(shù)量曲線 x t2mx mxuii uiuitxddxmx0x阻滯增長模型與美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)從1800 年到 1960 年都吻合較好， 1960 年后，誤差變大。人口容量不易準確得到是阻滯增長模型的不足之處，實際上人口容量也是隨人們對自然資源的開發(fā)水平不斷提高而改變的。 傳染病模型 問題 ? 描述傳染病的傳播過程 ? 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 ? 預報傳染病高潮到來的時刻 ? 預防傳染病蔓延的手段 ? 按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型 已感染人數(shù) (病人 ) i(t) ? 每個病人每天有效接觸(足以使人致病 )人數(shù)為 ? 模型 1 假設 ttititti ????? )()()( ?若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加 必須區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 建模 0)0( iiidtdi?? ?????? itteiti ?0)( ?? sidtdi ??1)()( ?? tits模型 2 區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 假設 1）總人數(shù) N不變，病人和健康 人的 比例分別為 )(),( tsti 2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為 ?, 且 使接觸的健康人致病 建模 ttNitstittiN ????? )()]([)]()([ ?????????0)0()1(iiiidtdi?? ~ 日 接觸率 SI 模型 teiti?????????????1111)(0????????0)0()1(iiiidtdi?模型 2 1/2 tm i i0 1 0 t ?????????? ? 11ln01it m ?tm~傳染病高潮到來時刻 ? (日接觸率 )? ? tm? 1???? itLogistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大 模型 3 傳染病無免疫性 ——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染 增加假設 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例為 ? ? ~日 治愈率 ttNittitNstittiN ??????? )()()()]()([ ??建模 ??? /?? ~ 日接觸率 1/? ~感染期 ? ~ 一個感染期內 每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為 接觸數(shù) 。 有時候 , 初始條件變化導致解的性態(tài)差異會隨時間變大 后而消失 , 這時稱該 系統(tǒng)是穩(wěn)定 的 . 在實際問題中 , 初始狀態(tài)不能精確地而只能近似地確定 , 所以穩(wěn)定性問題的研究對于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的實際意義。 微分方程穩(wěn)定性理論 可以使我們在很多情況下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描繪的系統(tǒng)是 穩(wěn)定 或 不穩(wěn)定 的結論。 在數(shù)學建模競賽活動中，很多問題中涉及到的微分方 程是一類稱為 自治系統(tǒng) 的方程 。))(,)(()(39。 txftx ?一階方程 自治方程 中的解隨時間不斷變大如有穩(wěn)定變化趨勢， 則這個解的 最終趨勢值 只能是該方程的 平衡點 。 txftx ?一階方程 的 平衡點 是指代數(shù)方程 0))(( ?txf 的根 （可能不止一個根） ； ))(,)(()(39。tytxgtytytxftx?????二階方程的 平衡點 是 指代數(shù)方程組 0),(0),(?????yxgyxf 的解 （可能不止一組解）。 txftx ? 0x 如果存在某個鄰域，使微分方程的解 { x ( t ) ， y ( t ) } 從這個鄰域內的某個點 { x ( 0 ) ， y ( 0 ) } 出發(fā) ， 滿足 : ,)(l i m,)(l i m 00 ytyxtx tt ?? ?????? 則稱微分方程 的 平衡點 是 穩(wěn)定 的。))(,)(()(39。 否則稱 x0 是不穩(wěn)定平衡點 . txfecxtx ???? )(00 0)( 由此 , 當 f ’( x0 ) ＜ 0 時 , x → x 0 。 (b) 線性問題研究 : 求解 x’ = f ’( x0 )( x – x0 ) , 解得 非線性方程 ( 兩個方程 ) 組情況 平衡點 : 解 f (x , y) = 0 , 得 x = x 0 g ( x , y ) = 0 , y = y 0 . y ’( t ) = g ( x ( t ) , y ( t ) ) 形式 : x ’( t ) = f ( x ( t ) , y( t ) ) , 穩(wěn)定意義 : 當 t → +∞ 時 , 如 x → x 0 , y → y 0 , 則稱 ( x0 , y0 ) 是穩(wěn)定的平衡點 。( x x0 ) + f ’y ( x0 , y0 ) g ( x , y ) ≈ g ’x( x0 , y0 )( y y0 ). (b) 線性問題研究 : 記 a1= f ’x( x0, y0 ) , a2 = f ’ y ( x0, y0 ) , b1 = g ’x ( x0, y0 ) , b2 = g ’ y ( x0, y0 ) , p = ( a1 + b2 ) , q = a1 b2 a2 b1 , 并無妨設 x0 = 0 , y0 = 0 。2121tytxWbbaaAWAtW ，其中，)()()(39。2121tybtxbtytyatxatx??????? 或寫為 (1) 當 p ＞ 0 , q ＞ 0 時 , 如果 p2 – 4q ≥ 0，由 λ1 +λ2 = p , λ1 ?λ2 = q , 推得 λ1 與 λ2 均為負數(shù) ， 故當 t → +∞ 時， e λ