【正文】 P t e P t e P te P t e P t e P te P t tand ne P t e M M t i t M??????????????? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ???3 . = + , ? ? ? ?? ?取它的一特征向量 . ?則 為 的解 ,且 ()() itte ??????( ) , .tt e t??? ? ? ? ? ? ? ?x A x? ?非齊常系數(shù)線性方程的常數(shù)變易公式 ()x Ax f t? ??求上式滿足初始條件 的特解 ,取 則由常數(shù)變易公式得 0()t??? ()t?( ) e x pt At??00011000 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=( e xp ) e xp( ) ( e xp ) e xp( ) ( )[ e xp ( ) ] [ e xp ( ) ] ( ) . ( * )ttttttt t t t s f s dsA t A t A t A s f s dsA t t A t s f s ds??????? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? 例 4 求解 Cauchy問題 3 5 0, ( 0 ) .5 3 10tex x x???? ? ? ?? ? ???? ? ? ??? ? ? ???解 :由例 1知 3 c o s 5 s in 5e x ps in 5 c o s 5t ttA t ett????????據(jù) (*)得 33 ( )0c os 5 si n 5 0()si n 5 c os 5 1c os 5 ( ) si n 5 ( ) + .si n 5 ( ) c os 5 ( ) 0tsttstttettt s t s ee dst s t s???? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ??? ????????? ? ??? ???3340434si n 5 c os 5c os 5 c os 5 si n 5 si n 5 si n 5 c os 5 c os 5 si n 54 c os 5 46 si n 5 41 .41 46 c os 5 4 si n 5 5tttsttttett s t se e dst s t st t eet t e?????????????????????? ??????????三、 Laplace變換法及應(yīng)用 我們前面用拉氏變換解常系數(shù)高階線性微分方程，其實也可以解方程組 .為此要把拉氏變換推廣到向量值的情形，定義 + 0 [ ( ) ] ( )stf t e f t d t? ? ?? ? 考慮 ()x Ax f t? ??A nn? ()ft [0 , )??n其中 為 常數(shù)矩陣， 上的連續(xù) 為 維向量函數(shù) . 我們有定理 :如果存在常數(shù) 0M ? 0,? ?( ) ( )tf t M e ???t( ) , ( 0)x A x f t x ?? ? ? ?的解 ()t? ()t??及 使得 對充分大的 成立， 則初值問題 及其導(dǎo)數(shù) 滿足（ *）類似的不等式，從而相應(yīng)的 Laplace變換存在 . 證明 :存在充分大的 使得 T ( ) , tf t M e t T???0( ) [ ( ) ( ) ]t A s f s d s? ? ???? ? ??0= [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]TtTA s f s d s A s f s d s? ? ?? ? ? ???0 [ ( ) ( ) ]T A s f s d s K??? ? ??( ) ( ) ( )tTt K A s f s d s??? ? ? ? ??( ) .ttTMK e A s d s? ??? ? ? ??( ) ( )tt t sTMt e K e A s e d s? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ??( ) ( )t sTTML A s e d s L K e??????? ? ? ? ? ??()( ) ,tTG r o n w a l l A d s A t Ttt e Le Le t T?? ?? ?? ? ? ?不 等 式()( ) ,A T A tt L e e t T?? ??? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )t A t f t A t f t? ? ??? ? ? ? ? ?() ,A T A tA Le M e t T?????? ? ? ???推論 :若對數(shù)值函數(shù) ,存在常數(shù) 和 使得不等式 ()ft 0M ? 0? ?() tf t M e ??( ) ( 1 )1( 1 ) ( 1 )0 0 0( ) ,( 0) , ( 0) , , ( 0)nnnnnx a x a x f tx x x x x x???? ? ? ? ?????? ? ???的解 及其直到 階導(dǎo)數(shù)均存在 Laplace變換 . ()xt n對所有充分大的 成立 ,則 階常系數(shù)線性方程初 n值問題 t例 1 利用 Laplace變換求解初值問題 3 5 0, ( 0 )5 3 10tex x x???? ? ? ?? ? ???? ? ? ??? ? ? ???解 :寫成分量形式 1 1 22 1 2 1 2355 3 , ( 0) 0 , ( 0) 1tx x x ex x x ????? ? ? ?? ?? ? ? ? ??1 1 2 2 ( ) [ ( ) ] , ( ) [ ( ) ]X s t X s t? ? ? ???2 1 211( ) 1 5 ( ) 3 ( )ssX s X s X s? ?????? ? ? ? ??1 222 2 2 22 222 2 2 2351()( 3 ) 51 4( 3 ) 5 1 = 46 441 ( 3 ) 5 ( 3 ) 5 1531()( 3 ) 51 46( 3 ) 5 1 = 4 541 ( 3 ) 5 ( 3 ) 5 1ssXssss s sssXssss s s???????????????????? ? ? ? ?? ??? ????? ????????? ??????? ? ? ? ????取 Laplace逆變換并查 Laplace變換表得 3413421( ) ( 4 c o s 5 4 6 sin 5 4 )411( ) ( 4 6 c o s 5 4 sin 5 5 )41ttttt e t t et e t t e?????? ? ????? ? ? ???例 2 利用 Laplace變換求解初值問題 解 :寫成分量形式 1 1 22 1 2 1 224 , ( 0 ) 0 , ( 0 ) 1x x xx x x ??? ???? ? ? ? ? ? ??并求其基解矩陣 . 1 1 2 2( ) [ ( ) ] , ( ) [ ( ) ]X s t X s t? ? ? ???1 1 1 22 2 1 2( ) ( 0 ) 2 ( ) ( )( ) ( 0 ) ( ) 4 ( )s X s X s X ss X s X s X s??? ? ???? ? ? ? ??查表得 31331()()tttt t et e t e??? ???????1 2 11 2 2( 2 ) ( ) ( ) ( 0 ) 0( ) ( 4 ) ( ) ( 0 ) 1s X s X sX s s X s??? ? ? ???? ? ? ? ??1 22 221()( 3 )2 1 1()( 3 ) 3 ( 3 )XsssXss s s?????? ???? ? ?