【正文】 足 六、差分方程建模 ?處理動態(tài)的離散型的問題 ?處理 對象雖然涉及的變量 (如時間 )是連續(xù)的，但是從建模的目的考慮，把連續(xù)變量離散化更為合適，將連續(xù)變量作離散化處理，從而將連續(xù)模型 (微分方程 )化為離散型 (差分方程 )問題 對于 k階差分方程 F( n。 )1()(22222 Nxxrtx ???? 兩種群在一起生存時，乙對甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比 。 背景 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?)1()()( Nxrxxftx ????)()()( xhxfxF ??記產(chǎn)量模型 假設(shè) ? 無捕撈時魚的自然增長服從 Logistic規(guī)律 ? 單位時間捕撈量與漁場魚量成正比 建模 捕撈情況下漁場魚量滿足 ? 不需要求解 x(t), 只需知道 x(t)穩(wěn)定的條件 r~固有增長率 , N~最大魚量 h(x)=Ex, E~捕撈強(qiáng)度 x(t) ~ 漁場魚量 一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 )1()( xFx ?? 一階非線性（自治）方程 F(x)=0的根 x0 ~微分方程的 平衡點(diǎn) 000 xxx xx ?????設(shè) x(t)是方程的解，若從 x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m 0xtxt ??? 稱 x0是方程 (1)的 穩(wěn)定平衡點(diǎn) 不求 x(t), 判斷 x0穩(wěn)定性的方法 ——直接法 )2())(( 00 xxxFx ????(1)的近似線性方程 ))1(),2((0)( 00 對穩(wěn)定xxF ???))1(),2((0)( 00 對不穩(wěn)定xxF ???0)( ?xF 0),1(10 ??? xrENxErxFrExF ?????? )(,)( 10產(chǎn)量模型 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性判斷 0)(,0)( 10 ?????? xFxFrE0)(,0)( 10 ?????? xFxFrEx0 穩(wěn)定 , 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量 x1 穩(wěn)定 , 漁場干枯 E~捕撈強(qiáng)度 r~固有增長率 不穩(wěn)定穩(wěn)定 10 , xx穩(wěn)定不穩(wěn)定 10 , xx產(chǎn)量模型 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大 圖解法 )()()( xhxfxF ??)1()( Nxrxxf ??Exxh ?)(0)( ?xFP的橫坐標(biāo) x0~平衡點(diǎn) 2// *0* rxhE m ??y=rx h ? P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的縱坐標(biāo) h~產(chǎn)量 )4/,2/( *0* rNhNxP m ??產(chǎn)量最大 f 與 h交點(diǎn) P 穩(wěn)定0xrE ??hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制漁場魚量為最大魚量的一半 cErEpNEESETER ????? )1()()()()1(4 222NpcrNhR ??cEp E xSTR ????效益模型 假設(shè) ? 魚銷售價格 p ? 單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用 c 單位時間利潤 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使效益最大 . )/1(0 rENx ??穩(wěn)定平衡點(diǎn) 求 E使 R(E)最大 )1(2 pNcrE R ??pcN22 ??)1( rENx RR ??漁場魚量 2*rE ??收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE 種群的相互競爭 ? 一個自然環(huán)境中有兩個種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競爭；相互依存；弱肉強(qiáng)食。 ? 不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。)()()(39。 βi （ k = 1 ， 2 ） 中 α 為正數(shù) ， 故當(dāng) t → +∞ 時 , eλk t = eαt（ sinβt 177。 如果 p2 – 4q ＜ 0，由 λ1 +λ2 = p , λk = α177。 求解 )()()(2143212121?????????????? 當(dāng)，可解得ttttecectyecectx)()()()()(21432111???????????? 當(dāng)，或ttetcctyetcctx 其中 λ1 , λ2 為特征方程 r 2 + p r + q = 0 的兩根 . 這里 λ1 +λ2 = p , λ1 ?λ2 = q ????????????????????)()()(39。( y y0 ) 。 當(dāng) f ’( x0 ) ＞ 0 時 , x → +∞ . (c) 一階 非線性問題的穩(wěn)定性結(jié)論 : 根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)理論 , 一階 非線性問題的穩(wěn)定性在非臨界情況下，與 一階 線性問題結(jié)論完全相同 . . 研究方法 : (a) 作 f ( x ) 的線性替代 ( 利用一元函數(shù)的泰勒展開式 ) : f ( x ) ≈ f ’( x0 )( x x0 ) + f ( x0 ) = f ’( x0 )( x x0 ) 。 ))(,)(()(39。))(,)(()(39。,212211txtxgtxtxtxftx?????二階方程))(()(39。 研究者對于微分方程穩(wěn)定性理論的研究興趣往往大于 該方程解有無解析表達(dá)式的研究興趣。 ?????????0)0()1(iiiiidtdi????????????1,01,11)(???i)]11([ ?? ???? iidtdi模型 3 i0 i0 接觸數(shù) ? =1 ~ 閾值 ??? /?1?? ?? )( ti形曲線增長按 Sti )(?感染期內(nèi) 有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù) 小01i??11/? i0 iiidtdi ?? ??? )1(模型 2(SI模型 )可以看作模型 3(SIS模型 )的特例 i di/dt 0 1 ? 1 0 t i ? 1 11/? i 0 t ? ?1 di/dt 0 模型 4 傳染病有免疫性 ——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱 移出者 SIR模型 假設(shè) 1）總?cè)藬?shù) N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為 )(),(),( trtsti2）病人的日接觸率 ? , 日 治愈率 ?, 接觸數(shù) ? = ? / ? 建模 1)()()( ??? trtits需建立 的兩個方程 )(),(),( trtstittNittitNstittiN ??????? )()()()]()([ ??模型 4 SIR模型 很小）通常 000 )0((1 rrsi ???無法求出 的解析解 )(),( tsti在相平面 上 研究解的性質(zhì) is ~ttitNststtsN ?????? )()()]()([ ????????????????00)0(,)0( ssiisidtdsisidtdi???????????? 0011iisdsdiss?000 ln1)()(sssissi?????模型 4 ???????????????00)0(,)0( ssiisidtdsisidtdi?????? /?消去 dt SIR模型 }1,0,0),{( ????? isisisD相軌線 的定義域 )(si相軌線 1 1 s