【正文】 微分方程模型中 , 方程 ( 組 ) + 初始條件 → 解 初始條件的作用在于確定解 , 它 的微小變化會產(chǎn)生不同的 解，換言之，對解的發(fā)展性態(tài)變化 , 往往具有影響作用 . 問題是這種對解的發(fā)展性態(tài)的影響作用是 長期存在 的 , 還是當(dāng)時間充分大以后 , 影響作用會 “ 消逝 ” ? （ 1）微分方程模型的穩(wěn)定性及其實際意義 有時候 , 初始條件的微小變化會導(dǎo)致解的性態(tài)隨時間變 大后 , 產(chǎn)生顯著的差異 , 這時稱 系統(tǒng)是不穩(wěn)定 的 。,212211txtxgtxtxtxftx?????二階方程))(()(39。 ))(,)(()(39。( y y0 ) 。 如果 p2 – 4q ＜ 0，由 λ1 +λ2 = p , λk = α177。)()()(39。 背景 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?)1()()( Nxrxxftx ????)()()( xhxfxF ??記產(chǎn)量模型 假設(shè) ? 無捕撈時魚的自然增長服從 Logistic規(guī)律 ? 單位時間捕撈量與漁場魚量成正比 建模 捕撈情況下漁場魚量滿足 ? 不需要求解 x(t), 只需知道 x(t)穩(wěn)定的條件 r~固有增長率 , N~最大魚量 h(x)=Ex, E~捕撈強(qiáng)度 x(t) ~ 漁場魚量 一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性 )1()( xFx ?? 一階非線性（自治）方程 F(x)=0的根 x0 ~微分方程的 平衡點 000 xxx xx ?????設(shè) x(t)是方程的解，若從 x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m 0xtxt ??? 稱 x0是方程 (1)的 穩(wěn)定平衡點 不求 x(t), 判斷 x0穩(wěn)定性的方法 ——直接法 )2())(( 00 xxxFx ????(1)的近似線性方程 ))1(),2((0)( 00 對穩(wěn)定xxF ???))1(),2((0)( 00 對不穩(wěn)定xxF ???0)( ?xF 0),1(10 ??? xrENxErxFrExF ?????? )(,)( 10產(chǎn)量模型 ExNxrxxFtx ???? )1()()(?平衡點 穩(wěn)定性判斷 0)(,0)( 10 ?????? xFxFrE0)(,0)( 10 ?????? xFxFrEx0 穩(wěn)定 , 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量 x1 穩(wěn)定 , 漁場干枯 E~捕撈強(qiáng)度 r~固有增長率 不穩(wěn)定穩(wěn)定 10 , xx穩(wěn)定不穩(wěn)定 10 , xx產(chǎn)量模型 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大 圖解法 )()()( xhxfxF ??)1()( Nxrxxf ??Exxh ?)(0)( ?xFP的橫坐標(biāo) x0~平衡點 2// *0* rxhE m ??y=rx h ? P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的縱坐標(biāo) h~產(chǎn)量 )4/,2/( *0* rNhNxP m ??產(chǎn)量最大 f 與 h交點 P 穩(wěn)定0xrE ??hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制漁場魚量為最大魚量的一半 cErEpNEESETER ????? )1()()()()1(4 222NpcrNhR ??cEp E xSTR ????效益模型 假設(shè) ? 魚銷售價格 p ? 單位捕撈強(qiáng)度費用 c 單位時間利潤 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使效益最大 . )/1(0 rENx ??穩(wěn)定平衡點 求 E使 R(E)最大 )1(2 pNcrE R ??pcN22 ??)1( rENx RR ??漁場魚量 2*rE ??收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE 種群的相互競爭 ? 一個自然環(huán)境中有兩個種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競爭；相互依存；弱肉強(qiáng)食。 11 ??對甲增長的阻滯作用，乙小于甲?乙的競爭力弱 ? P1穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ?21 ?甲的競爭力強(qiáng) 甲達(dá)到最大容量，乙滅絕 ? P2穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ? P3穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 通常 ?1 ? 1/?2， P3穩(wěn)定條件不滿足 六、差分方程建模 ?處理動態(tài)的離散型的問題 ?處理 對象雖然涉及的變量 (如時間 )是連續(xù)的，但是從建模的目的考慮，把連續(xù)變量離散化更為合適，將連續(xù)變量作離散化處理，從而將連續(xù)模型 (微分方程 )化為離散型 (差分方程 )問題 對于 k階差分方程 F( n。 ③ 當(dāng) ?1, 2= ? (cos? + i sin? ) 是一對共軛復(fù)根時 ,二階常系數(shù)線性差分 方程的通解為 xn = x*+ ? n (C1cosn? + C2sinn? ). 易知 ,當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根 |?i |＜ 1時 , 平衡點 x*是穩(wěn)定的 . 則 對于一階非線性差分方程 xn+1 = f (xn ) 其平衡點 x*由代數(shù)方程 x = f (x) 解出 . 為分析平衡點 x*的穩(wěn)定性 , 將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線性差分方程 * ) ,(*)* ) ((1 xfxxxfx nn ?????1|*)(| ?? xf時 ,上述近似線性差分方程與 原 非線性差分方程的 穩(wěn)定性相同 . 因此 當(dāng) 時 , x*是穩(wěn)定的； 當(dāng) 1|*)(| ?? xf時 , x*是不穩(wěn)定的 . 當(dāng) 1|*)(| ?? xfApplication:常微分方程可化為差分方程 用導(dǎo)數(shù)近似式替代導(dǎo)數(shù)或者說用適當(dāng)近似式替代含有導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，可以得到這些近似值滿足的代數(shù)方程 差分方程 以二階常微分方程邊值問題為例 ??????????0)()()()()(21 xqdbydaybxaxfyxqyihaxn abh i ???? 令, )(, ii xyy ?目的求 iy差分法 2111 2)(hyyyxy iiii??? ?????0)()()()( ??? iiii xfxyxqxy????????? ??210211,)2(dydyfhyyqyniiiii差分方程 。 對于消耗甲的資源而言，乙 (相對于 N2)是甲(相對于 N1) 的 ?1 倍。 問題及 分析 ? 在 捕撈量穩(wěn)定 的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 (3) 當(dāng) q ＜ 0 時 , 此時必定有 p2 – 4q ≥ 0 ， 此時 系統(tǒng)也必不穩(wěn)定 。)()()(39。 否則稱 ( x0 , y0 ) 是不穩(wěn)定平衡點 . 上面的方程組有時可能不止一組解 . 研究方法 : (a) 作 f ( x , y ) 與 g ( x , y ) 的線性替代（利用二元函數(shù) 的泰勒展開式） : f ( x , y ) ≈ f’’x( x0 , y0 ) 0x},{ 00 yx 如果存在某個鄰域，使微分方程的解 x ( t ) 從這個鄰域 內(nèi)的某個點 x ( 0 ) 出發(fā) ， 滿足 : ,)(lim 0xtxt ????則稱微分方程 的 平衡點 是 穩(wěn)定 的； ))(()(39。 自治方程 是指方程中不顯含自變量 t 的微分方程，例如 ))(,)(()(39。更復(fù)雜的人口模型需考慮隨時間和人口變化的人口增長率、同樣隨時間改變的人口容量以及與育齡婦女和人口年齡分布有關(guān)的人口基數(shù)，此外還需考慮天災(zāi)、戰(zhàn)爭等隨機(jī)性因素對人口的影響。他提出的假設(shè)包括： 1 、 由于自然資源 ( 自然資源條件和環(huán)境條件 ) 的約束，人口存在一個最大容量mx。然后繼續(xù)下一步，取時，當(dāng)滿足，對于已給的精確度 ）（ y