微分方程及其定解條件、等效積分(存儲版)
【正文】 場的梯度，這個(gè)向量場稱為有勢場，這個(gè)標(biāo)量場 稱為有勢場的位勢場或位勢函數(shù) 在定常熱傳導(dǎo)問題中，溫度場的梯度為 T T TTx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?i j k也就是說，這個(gè)向量場是溫度場的梯度，是一個(gè)有勢場 而溫度場是這個(gè)有勢場的位勢場或位勢函數(shù)，這就是泊 松方程和拉普拉斯方程稱為位勢方程的原因 現(xiàn)在我們來看位勢方程的定解條件。這就是拉普拉斯方程及其邊界條件的 等效積分形 式 。 ? ? ? ?TT d d 0? ? ?? ? ? ???v A u v B u從微分方程等效積分形式出發(fā)，如果要降低等效積分 中微分方程的階數(shù)要怎么辦呢？ 通過分步積分的方法可以降低等效積分中微分方程的階 數(shù)，代價(jià)是對 進(jìn)行微分，等于說降低對待求函數(shù) 的要求，卻提高了對 連續(xù)性的要求。 這個(gè)微分方程及邊界條件的等效積分為： d d = 0qv k k Q v k qx x y y n? ? ????? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???????,vv 是使上面積分可計(jì)算的任意標(biāo)量函數(shù) 下面來推導(dǎo)它的“弱”形式，根據(jù)微分學(xué)知識 vv k v k kx x x x x xvv k v k ky y y y y y? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?第一項(xiàng)積分，就可以改寫了 dd vv k v k kx x x x x x? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????dd vv k v k ky y y y y y? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????這里，我們把和的積分拆開成積分的和，因?yàn)?ppt 太小，寫不下。 總結(jié)與思考 ? 請大家理解用一般符號表示微分方程及邊界條件的方法 ? 請大家理解微分方程等效積分的概念，弄清楚為什么等效積分與微分方程及其邊界條件是等效的 ? 請牢記，微分方程及其邊界條件的等效積分是有限元的重要理論基礎(chǔ) ? 微分方程等效積分“弱”形式是從何而來，它與等效積分有什么關(guān)系？ ? 等效積分“弱”形式較之等效積分有什么好處？就是為什么要推導(dǎo)等效積分“弱”形式 例題： 二維導(dǎo)熱微分方程及其邊界條件的等效積分及等效積分 “弱”形式。 u微分方程的最高階數(shù)對待求解提出了要求，但這種要求 有時(shí)過于苛刻，例如下面這個(gè)微分方程： 4 4 44 2 2 420w w wx x y x? ? ?? ? ?? ? ? ?這個(gè)微分方程的等效積分若可以計(jì)算 ， 則要求待解函數(shù) 具有 3階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 。下面我們就將見到一種 微分方程的普遍規(guī)律或者說普遍的變換形式 —— 等效積分 形式 雖然是要推導(dǎo)一個(gè)普遍規(guī)律，但為了便于說明，我們還 是從一個(gè)簡單的特例出發(fā)，這個(gè)特列就是剛才提到的二 維拉普拉斯方程及其邊界條件 ? ?2222 0xy??????? ? ? ? ???A? ?00 qkqn?? ? ?? ??? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ????B這個(gè)二維拉普拉斯方程的求解域是一個(gè)平面區(qū)域 ?x?y?在求解域內(nèi)的一個(gè)小區(qū)域內(nèi) 拉普拉斯方程也是成立的， 也就是 2222 0 [ ]xyxy?? ??? ? ? ? ? ? ???如果方程兩邊同時(shí)乘以這個(gè)小區(qū)域的面積，結(jié)果會是 這樣 2 2 2 22 2 2 2 0 [ ]S x y x yx y x y? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?設(shè)想把求解域劃分成若干個(gè)小區(qū)域，也就是說求解域的 面積等于這些小區(qū)域面積和 12 ni i iiiS S S SS x y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???對于每一個(gè)小區(qū)域來說，剛才的推導(dǎo)也是成立的 2 2 2 22 2 2 2 0 [ ]i i i i iS x y x yx y x y? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?現(xiàn)在我們把它對所有小區(qū)域求和 現(xiàn)在我們把它對所有小區(qū)域求和 2222 0iiixyxy?????? ? ? ? ????????再進(jìn)一步，如果我們?nèi)〉男^(qū)域趨向無窮小，也就是 0 。定解條件中只有初值條件 的問題稱為 初值問題 。由于待求變量與 時(shí)間無關(guān)，不需要初值條件因此位勢方程
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