微分方程及其定解條件、等效積分(完整版)
【正文】 10 , 0 ,uT t k u t txuT l t k u l t tx???????? ??????? ??這個(gè)邊界條件的物理意義是，弦的端點(diǎn)固定在兩個(gè) 彈性支撐上，兩個(gè)彈性支撐的彈性系數(shù)為： k0， k1 以上是弦振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，是由微分方程與相應(yīng)的定 解條件（初值條件，邊值條件）共同組成的，這一樣 問(wèn)題又稱(chēng)為 混合初邊問(wèn)題 。準(zhǔn)確的定義，大家可以參考數(shù)學(xué)物理方程的 有關(guān)書(shū)籍和資料 有限元方法特別適合求解橢圓微分方程或方程組。 現(xiàn)在，我們來(lái)看一般的微分方程組的情況，之前曾 介紹過(guò)，微分方程組及其邊界條件可以表示為： ? ? ? ? ? ? ? ? T T12 , , , [ 0 ]mmA A A??????A u u u u? ? ? ? ? ? ? ? T T12 , , , [ 0 ]kkB B B??????B u u u u像上面拉普拉斯方程等效積分形式分析的過(guò)程一樣，對(duì) 微分方程組中每一個(gè)微分方程，以下的積分都是成立的 ? ? ? ? ? ?1 1 2 2d 0 , d 0 , , d 0nnv A v A v A? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?u u u12, , , nv v v都是任意的函數(shù)，把這些積分加起來(lái) ? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 2 d0nnv A v A v A? ? ? ? ? ?? u u u對(duì)于邊界條件也一樣，只是積分是沿邊界積分 ? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 2 d0kkv B v B v B?? ? ? ? ? ?? u u u上面這兩個(gè)積分，我們可以寫(xiě)成矢量形式 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?T1 1 2 2 d d 0nnv A v A v A?? ? ? ? ? ? ? ???u u u v A u? ? ? ? ? ?? ? ? ?T1 1 2 2 d d 0kkv B v B v B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???u u u v B u? ? ? ?TT1 2 1 2, , , , , ,nnv v v v v v??vv這兩個(gè)積分加起來(lái)，就得到想要得到的結(jié)果了 ? ? ? ?TT d d 0? ? ?? ? ? ???v A u v B u這就是微分方程組 等效積分形式 的一般式，它與原微分 方程完全等效，就像之前以拉普拉斯方程為例進(jìn)行討論 的情況一樣。一個(gè) 微分方程 ? ?22d 0 0 1du u x xx? ? ? ? ?這個(gè)微分方程的等效積分形式 ? ?221 1 1220 0 0dd d d d 0uuv u x x v x v u x xxx? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?要求待求解函數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在對(duì)二階導(dǎo)數(shù) 部分進(jìn)行分步積分 ? ?111000d d d d d 0d d du v uv x v u x xx x x??? ? ? ? ? ????? ??經(jīng)過(guò)這樣的分步積分之后，對(duì)待求函數(shù)的要求由原來(lái) 的具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，下降為連續(xù)可導(dǎo)，而對(duì)函數(shù) v 的要求則有原來(lái)的單值可積提高為連續(xù)可導(dǎo)。利用 格林公式 +dddv k v kx x y yv k x v k yyx???????????? ? ? ? ? ????????????? ? ? ????? ?????? ? ? ? ???? ? ??? ?????? ????????ddddQPxyxyP x Q y??????????????????. 格林公式 下面要用到線積分知識(shí)和幾何關(guān)系了，這個(gè)圖中給出 的是求解域和邊界的一部分 以及邊界的單位切矢量和單位 法向量。 類(lèi)似之前用符號(hào)表達(dá)微分方程一樣，我們把對(duì) 中每一個(gè)函數(shù)的微分運(yùn)算用一個(gè)符號(hào)來(lái)表示，那么 等效積分分步積分后的表達(dá)式可以寫(xiě)為： Tv Tv? ? ? ? ? ? ? ?d0TT d?? ? ? ? ???C v D u E v F u這就是 等效積分的“弱”形式 對(duì)于二維和三維的情況，直接從分步積分的方法推導(dǎo) 等效積分的“弱”形式，可能有些困難，可以利用數(shù) 學(xué)分析中“格林公式”和“高斯公式”推導(dǎo)。 上面分析中對(duì)等效積分中使用的任意函數(shù)以及微分 方程的解的性質(zhì)沒(méi)有做出任何限定，事實(shí)上，對(duì)它 們是有一定限制的，那就是它們應(yīng)該使得等效積分 式中的被積函數(shù)具有可積性或者說(shuō)使積分能夠進(jìn)行 計(jì)算 ? ? ? ?TT d d 0? ? ?? ? ? ???v A u v B u在這個(gè)積分式中， 要使這個(gè)積分存在，不能出現(xiàn) 無(wú)窮大的情況 ,v v u要達(dá)到這個(gè)目的，就要對(duì) 做出一些限制 ,v v u對(duì) ，由于是我們可以選擇的函數(shù)，那就選擇那些 單值，且在求解域和求解域邊界上可積分的函數(shù)就可以 ,vv對(duì) ，雖然是待求解，我們也可以定性的給出它的一個(gè) 性質(zhì)，它的選擇要根據(jù)微分方程的階數(shù)來(lái)選擇，如果微 分方程（組）中最高微分階次為 n，那么待求解必然是一 個(gè)具
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