【正文】 () 這樣 Malthus 模型公式 () 變?yōu)? ??????????00)0()1(ddxxxxxrtxm () 稱為阻滯增長模型或 Logistic 模型。 也就是說，在具有穩(wěn)定性特征的微分方程模型中 , 長遠(yuǎn) 來看 , 最終發(fā)展結(jié)果與精確的初始狀態(tài)究竟如何 , 兩者 之間沒有多大關(guān)系 , 初始狀態(tài)刻畫得精確不精確是無關(guān) 緊要的。 ))(()(39。tytxgtytytxftx????? },{00 yx 上述 一階自治方程 和 二階自治方程組 解的 穩(wěn)定性理論 結(jié)果可簡介如下： 非線性方程 ( 一個方程 ) 情況 形式 : x’( t ) = f ( x( t ) ) 平衡點 : 解 f ( x ) = 0 , 得 x = x0 . 注意 : 有時該方程的 根不止一個 . 穩(wěn)定意義 : 當(dāng) t →∞ 時 , 如 x → x 0 , 則稱 x0 是穩(wěn)定的 平衡點 。( x x0 ) + g ’y ( x0 , y0 ) cosβt ） （ k = 1 ， 2 ） 也均趨于零 ， 系統(tǒng)仍為穩(wěn)定 的 ； (2) 當(dāng) p ＜ 0 時 , 如果 p2 – 4q ≥ 0 ，由 λ1 +λ2 = p , 可推出 λ1 與 λ2 中至少有一個為正數(shù)， 故當(dāng) t → +∞ 時， eλ1 t 與 eλ2 t 中至少有一個 趨于 +∞ ， 系統(tǒng)不穩(wěn)定 。21212121AD e tqATrpbbaaAtWAtWtybtxbtytyatxatx?????????????????????，或， 當(dāng) p ＜ 0 或當(dāng) q ＜ 0 時 , 相應(yīng)的平衡點是不穩(wěn)定的。 ? 建立數(shù)學(xué)模型描述兩個種群相互競爭的過程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。 x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0, 則稱 xn = x (n)是差分方程 (36)的 解 , 包含個任意常數(shù)的解稱為 (36)的 通解 , x0, x1, … , xk1為已知時稱為 (36)的 初始條件 ,通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為 (36)的 特解 . k 若 x0, x1, … , xk1已知 , 則形如 xn+k = g(n。 a, a, … , a ) = 0, 則稱 a是差分方程 (36)的 平衡點 . 又對差分方程 (36)的任意由初始條件確定的解 xn= x(n)都有 xn→ a (n→∞ ), 則稱這個平衡點 a是 穩(wěn)定 的 . 一階常系數(shù)線性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中 a, b為常數(shù) , 且 a ≠ 1, 0)的通解為 xn=C( a) n + b/(a + 1) 易知 b/(a+1)是其平衡點 , 由上式知 , 當(dāng)且僅當(dāng)|a|＜ 1時 , b/(a +1)是穩(wěn)定的平衡點 . 二階常系數(shù)線性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中 a, b, r為常數(shù) . 當(dāng) r = 0時 , 它有一特解 x* = 0； 當(dāng) r ≠ 0, 且 a + b + 1≠ 0時 , 它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪種情形 , x*是其平衡點 . 設(shè)其特征方程 ?2 + a? + b = 0 的兩個根分別為 ?=?1, ?=?2. ① 當(dāng) ?1, ?2是兩個不同實根時 ,二階常系數(shù)線性差分 方程的通解為 xn= x*+ C1(?1)n + C2(?2)n 。 )1()(22222 Nxxrtx ???? 兩種群在一起生存時，乙對甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比 。 ? 不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 βi （ k = 1 ， 2 ） 中 α 為正數(shù) ， 故當(dāng) t → +∞ 時 , eλk t = eαt（ sinβt 177。 求解 )()()(2143212121?????????????? 當(dāng)，可解得ttttecectyecectx)()()()()(21432111???????????? 當(dāng)，或ttetcctyetcctx 其中 λ1 , λ2 為特征方程 r 2 + p r + q = 0 的兩根 . 這里 λ1 +λ2 = p , λ1 ?λ2 = q ????????????????????)()()(39。 當(dāng) f ’( x0 ) ＞ 0 時 , x → +∞ . (c) 一階 非線性問題的穩(wěn)定性結(jié)論 : 根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)理論 , 一階 非線性問題的穩(wěn)定性在非臨界情況下，與 一階 線性問題結(jié)論完全相同 . . 研究方法 : (a) 作 f ( x ) 的線性替代 ( 利用一元函數(shù)的泰勒展開式 ) : f ( x ) ≈ f ’( x0 )( x x0 ) + f ( x0 ) = f ’( x0 )( x x0 ) 。))(,)(()(39。 研究者對于微分方程穩(wěn)定性理論的研究興趣往往大于 該方程解有無解析表達(dá)式的研究興趣。這時因為到 1960 年美國的實際人口已經(jīng)突破了用過去數(shù)據(jù)確定的最大人口容量。 ?線性多步法有四階阿達(dá)姆斯外插公式和內(nèi)插公式。 ???故有公式： 1n,0,1,2 ,i )( ),(001 ?????????xyyyxhfyy iiii此即 歐拉法 。t39。x39。 , 39。,0)0(029422yyydxdydxyd 解 輸入命令 : y=dsolve(39。,39。 因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的 。 故有公式： ????????? ???)()],(),([200111xyyyxfyxfhyy iiiiii使用泰勒公式 以此方法為基礎(chǔ)，有 龍格 庫塔（ Runge Kutta）法 、線性多步法 等方法。 2 、 增長率不是常數(shù)，隨人口增加而減少。 傳染病模型 問題 ? 描述傳染病的傳播過程 ? 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 ? 預(yù)報傳染病高潮到來的時刻 ? 預(yù)防傳染病蔓延的手段 ? 按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型 已感染人數(shù) (病人 ) i(t) ? 每個病人每天有效接觸(足以使人致病 )人數(shù)為 ? 模型 1 假設(shè) ttititti ????? )()()( ?若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加 必須區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 建模 0)0( iiidtdi?? ?????? itteiti ?0)( ?? sidtdi ??1)()( ?? tits模型 2 區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 假設(shè) 1）總?cè)藬?shù) N不變，病人和健康 人的 比例分別為 )(),( tsti 2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為 ?,