微分方程和差分方程簡(jiǎn)介精簡(jiǎn)版-文庫吧
2025-04-25 04:18 本頁面
【正文】 性因素對(duì)人口的影響。 傳染病模型 問題 ? 描述傳染病的傳播過程 ? 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 ? 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻 ? 預(yù)防傳染病蔓延的手段 ? 按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型 已感染人數(shù) (病人 ) i(t) ? 每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病 )人數(shù)為 ? 模型 1 假設(shè) ttititti ????? )()()( ?若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加 必須區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 建模 0)0( iiidtdi?? ?????? itteiti ?0)( ?? sidtdi ??1)()( ?? tits模型 2 區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 假設(shè) 1）總?cè)藬?shù) N不變，病人和健康 人的 比例分別為 )(),( tsti 2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為 ?, 且 使接觸的健康人致病 建模 ttNitstittiN ????? )()]([)]()([ ?????????0)0()1(iiiidtdi?? ~ 日 接觸率 SI 模型 teiti?????????????1111)(0????????0)0()1(iiiidtdi?模型 2 1/2 tm i i0 1 0 t ?????????? ? 11ln01it m ?tm~傳染病高潮到來時(shí)刻 ? (日接觸率 )? ? tm? 1???? itLogistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大 模型 3 傳染病無免疫性 ——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染 增加假設(shè) SIS 模型 3）病人每天治愈的比例為 ? ? ~日 治愈率 ttNittitNstittiN ??????? )()()()]()([ ??建模 ??? /?? ~ 日接觸率 1/? ~感染期 ? ~ 一個(gè)感染期內(nèi) 每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為 接觸數(shù) 。 ?????????0)0()1(iiiiidtdi????????????1,01,11)(???i)]11([ ?? ???? iidtdi模型 3 i0 i0 接觸數(shù) ? =1 ~ 閾值 ??? /?1?? ?? )( ti形曲線增長(zhǎng)按 Sti )(?感染期內(nèi) 有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù) 小01i??11/? i0 iiidtdi ?? ??? )1(模型 2(SI模型 )可以看作模型 3(SIS模型 )的特例 i di/dt 0 1 ? 1 0 t i ? 1 11/? i 0 t ? ?1 di/dt 0 模型 4 傳染病有免疫性 ——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱 移出者 SIR模型 假設(shè) 1）總?cè)藬?shù) N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為 )(),(),( trtsti2）病人的日接觸率 ? , 日 治愈率 ?, 接觸數(shù) ? = ? / ? 建模 1)()()( ??? trtits需建立 的兩個(gè)方程 )(),(),( trtstittNittitNstittiN ??????? )()()()]()([ ??模型 4 SIR模型 很小）通常 000 )0((1 rrsi ???無法求出 的解析解 )(),( tsti在相平面 上 研究解的性質(zhì) is ~ttitNststtsN ?????? )()()]()([ ????????????????00)0(,)0( ssiisidtdsisidtdi???????????? 0011iisdsdiss?000 ln1)()(sssissi?????模型 4 ???????????????00)0(,)0( ssiisidtdsisidtdi?????? /?消去 dt SIR模型 }1,0,0),{( ????? isisisD相軌線 的定義域 )(si相軌線 1 1 s i 0 D 在 D內(nèi)作相軌線 的圖形，進(jìn)行分析 )(sis i 1 0 1 D 模型 4 SIR模型 相軌線 及其分析 )(si???????????????00)0(,)0( ssiisidtdsisidtdi???????????? 0011iisdsdiss?000 ln1)()(sssissi?????0ln1000 ??????? sssiss?滿足miis ?? ,/1 ?傳染病蔓延 傳染病不蔓延 s(t)單調(diào)減 ?相軌線的方向 0, ??? itP1 ?s0 ?/1im ?sP1: s01/? ? i(t)先升后降至 0 P2: s01/? ? i(t)單調(diào)降至 0 1/?~閾值 P3 P4 P2 S0 ?????ssss00 lnln?模型 4 SIR模型 預(yù)防傳染病蔓延的手段 ? (日接觸率 )? ? 衛(wèi)生水平 ? ?(日 治愈率 )? ? 醫(yī)療水平 ? 傳染病不蔓延的條件 ——s01/? ? 的估計(jì) 0ln1000 ?????? sssis?0i忽略? 降低 s0 提高 r0 1000 ??? ris? 提高閾值 1/? 降低 ?(=?/?) ? ?, ? ? 群體免疫 五、 微分方程 穩(wěn)定性分析 用微分方程方法建立的動(dòng)態(tài)模型問題 模型分析 中的一個(gè) 重要問題是： 當(dāng)時(shí)間充分長(zhǎng)后 ，動(dòng)態(tài)過程的 變化趨勢(shì) 是什么？ 微分方程模型中 , 方程 ( 組 ) + 初始條件 → 解 初始條件的作用在于確定解 , 它 的微小變化會(huì)產(chǎn)生不同的 解，換言之，對(duì)解的發(fā)展性態(tài)變化 , 往往具有影響作用 . 問題是這種對(duì)解的發(fā)展性態(tài)的影響作用是 長(zhǎng)期存在 的 , 還是當(dāng)時(shí)間充分大以后 , 影響作用會(huì) “ 消逝 ” ? （ 1）微分方程模型的穩(wěn)定性及其實(shí)際意義 有時(shí)候 , 初始條件的微小變化會(huì)導(dǎo)致解的性態(tài)隨時(shí)間變 大后 , 產(chǎn)生顯著的差異 , 這時(shí)稱 系統(tǒng)是不穩(wěn)定 的 。 有時(shí)候 , 初始條件變化導(dǎo)致解的性態(tài)差異會(huì)隨時(shí)間變大 后而消失 , 這時(shí)稱該 系統(tǒng)是穩(wěn)定 的 . 在實(shí)際問題中 , 初始狀態(tài)不能精確地而只能近似地確定 , 所以穩(wěn)定性問題的研究對(duì)于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的實(shí)際意義。 也就是說，在具有穩(wěn)定性特征的微分方程模型中 , 長(zhǎng)遠(yuǎn) 來看 , 最終發(fā)展結(jié)果與精確的初始狀態(tài)究竟如何 , 兩者 之間沒有多大關(guān)系 , 初始狀態(tài)刻畫得精確不精確是無關(guān) 緊要的。 微分方程穩(wěn)定性理論 可以使我們?cè)诤芏嗲闆r下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描繪的系統(tǒng)是 穩(wěn)定 或 不穩(wěn)定 的結(jié)論。 研究者對(duì)于微分方程穩(wěn)定性理論的研究興趣往往大于 該方程解有無解析表達(dá)式的研究興趣。
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