微分方程及其定解條件、等效積分-文庫吧
2025-04-25 04:17 本頁面
【正文】 算子表達(dá)式，再回憶我們學(xué)過的高等數(shù)學(xué)的 知識(shí)，哈密頓算子運(yùn)算的結(jié)果，是一個(gè)標(biāo)量場的梯度 是一個(gè)向量場，而反過來說，如果一個(gè)向量場是一個(gè) 標(biāo)量場的梯度，這個(gè)向量場稱為有勢場，這個(gè)標(biāo)量場 稱為有勢場的位勢場或位勢函數(shù) 在定常熱傳導(dǎo)問題中，溫度場的梯度為 T T TTx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?i j k也就是說，這個(gè)向量場是溫度場的梯度，是一個(gè)有勢場 而溫度場是這個(gè)有勢場的位勢場或位勢函數(shù)，這就是泊 松方程和拉普拉斯方程稱為位勢方程的原因 現(xiàn)在我們來看位勢方程的定解條件。由于待求變量與 時(shí)間無關(guān)，不需要初值條件因此位勢方程的定解條件 類似三維熱傳導(dǎo)方程的三種邊界條件， ? ?,T x y z??? ? ? ?, , ,T x y z tn ???? ??? ?,T h T x y zn ?????????????現(xiàn)在我們來回顧一下剛才介紹的幾個(gè)微分方程 22222uuaftx??????0T T T Tc k k k ft x x y y z z????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???2222 2 2TTT gx y z???? ? ?? ? ?2222 2 2 0TTTx y z???? ? ?? ? ?第一個(gè)微分方程，方程兩邊微分的最高階數(shù)都是 2，如 果做移項(xiàng)整理 22222uuaftx??????這個(gè)方程的形式和雙曲線方程的形式很類似 2222xy cab??這類的方程又稱為雙曲型微分方程 再看第二個(gè)方程，現(xiàn)在加上物體均勻，為了幾何上更 直觀這個(gè)方程可以，我們寫出一維的情況 202TTc k ftx????????這個(gè)方程形式和拋物線方程形式類似 2y ax c??這類方程又稱為拋物型微分方程 最后再看位勢方程，為了幾何直觀，我們寫成二維的 情況 2222TT gxy??????這個(gè)方程形式和橢圓方程形式類似 2222 1xyab??這類方程又稱為橢圓型微分方程 微分方程主要就分為這三個(gè)類型：拋物型；雙曲型；橢 圓型 請大家注意，我們并不是要討論三種類型的微分方程的 準(zhǔn)確定義。準(zhǔn)確的定義，大家可以參考數(shù)學(xué)物理方程的 有關(guān)書籍和資料 有限元方法特別適合求解橢圓微分方程或方程組。 現(xiàn)在來總結(jié)一下邊界條件，我們看到，在以上的三個(gè) 典型問題的微分方程中，給定的邊界條件都有三種： 第一種是給定待求函數(shù)在邊界處的數(shù)值，這種邊界條件 稱為第一邊界條件、 Direchlet邊界條件、強(qiáng)制邊界條件 第二種是給定待求函數(shù)在邊界處梯度或方向?qū)?shù)，這種 邊界條件稱為第二邊界條件、 Neumann邊界條件 第三種是給定邊界上待求函數(shù)及其方向?qū)?shù)的線性組合， 這種邊界條件稱為第三邊界條件 我們總結(jié)一下這一小節(jié)的內(nèi)容 ? 描述物理過程的微分方程主要分為三個(gè)類型：橢圓型、雙曲型、拋物型 ? 有限元法特別適合求解橢圓型微分方程 ? 邊界條件主要有三種：第一邊界條件（ Direchlet條件、強(qiáng)制邊界條件）、第二邊界條件（ Neumann條件）和第三邊界條件 思考題： 這小節(jié)中，三維熱傳導(dǎo)問題的微分方程和位勢方程、以 及哈密頓算子 給出的都是笛卡爾坐標(biāo)下的形式，試查閱 資料，并推導(dǎo)這些微分方程和算子在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系 下的表達(dá)式。 拓展 前面我們看到了三個(gè)典型問題的微分方程，實(shí)際中遇到 的、使用的、包括我們自己在分析問題時(shí)建立的微分方 程是非常多的，為了便于研究，我們采用一種符號表示 法來表示微分方程，例如： ? ? ? ?0A ??? ? ?這個(gè)表達(dá)式代表任意一個(gè)微分方程，就像我們用 f(x) 表示任意函數(shù)的道理一樣 ,同樣，邊界條件我們也可以用 符號表達(dá) ? ? ? ?0B ??? ? ? ?例如，在一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)的拉普拉斯方程 2222 0xy?? ??? ? ? ? ???并且有邊界條件 0????? ? ? ?2222 0A xy??????? ? ? ? ???? ? ? ?0B ? ? ? ?? ? ? ? ? ?這是一個(gè)微分方程和一個(gè)邊界條件，單個(gè)待求函數(shù)的情 況，這種表示方法也可以拓展到微分方程組，多個(gè)待求 函數(shù)和多個(gè)邊界條件的情況。 可以用向量符號來表示待求解函數(shù)、微分方程組和邊界 條件 ? ? T12, , , nu u u?u帶求解函數(shù)向量 微分方程組向量 ? ? ? ? ? ? ? ? TT12 , , , [ 0 ]mmA A A??????A u u u u邊界條件向量 ? ? ? ? ? ? ? ? T T12 , , , [ 0 ]kkB B B??????B u u u u例如，在一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)的拉普拉斯方程 2222 0xy?? ??? ? ? ? ???現(xiàn)在邊界條件有兩個(gè)，在一部分邊界上給定函數(shù)值，另一 部分的邊界上給定函數(shù)方向?qū)?shù)，這樣 ? ?2222 0xy??????? ? ? ? ???A? ?00 qk
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