【正文】 y y0 ). (b) 線性問題研究 : 記 a1= f ’x( x0, y0 ) , a2 = f ’ y ( x0, y0 ) , b1 = g ’x ( x0, y0 ) , b2 = g ’ y ( x0, y0 ) , p = ( a1 + b2 ) , q = a1 b2 a2 b1 , 并無妨設 x0 = 0 , y0 = 0 。2121tybtxbtytyatxatx??????? 或?qū)憺? (1) 當 p ＞ 0 , q ＞ 0 時 , 如果 p2 – 4q ≥ 0，由 λ1 +λ2 = p , λ1 ?λ2 = q , 推得 λ1 與 λ2 均為負數(shù) ， 故當 t → +∞ 時， e λ1 t 與 e λ2 t 均趨于零 ， 系統(tǒng)穩(wěn)定 。 如果 p2 – 4q ＜ 0，仍由 λ1 +λ2 = p , 可推出 λk = α177。 由 λ1 ?λ2 = q , 可推出 λ1 與 λ2 中至少有一個為 正數(shù)， 故當 t → +∞ 時， eλ1 t 與 eλ2 t 中至少有一個趨于 +∞ ， 當 p ＞ 0 , q ＞ 0 時 , 相應的平衡點是穩(wěn)定的； )()()()(39。 綜述之，在線性方程組非臨界（ p ≠ 0 ) 情況中 (C) 非線性問題的 穩(wěn)定性結(jié)論 : (i) 若相應的線性問題是 穩(wěn)定 的 , 則對應非線性問題也 是 穩(wěn)定 的 ； (ii) 若相應的線性問題是 不穩(wěn)定 的 , 則對應非線性問題 也是 不穩(wěn)定 的 . 在非臨界情況下 （ p ≠ 0 ) ， 穩(wěn)定性模型 ? 對象仍是動態(tài)過程，而建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢 ——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 ? 如果使捕撈量等于自然增長量， 漁場魚量將保持不變 ，則捕撈量穩(wěn)定。 ???????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??)1()(11111 Nxxrtx ??????????? ??11111 1)( Nxxrtx?模型假設 ? 有甲乙兩個種群，它們獨自生存時數(shù)量變化均服從 Logistic規(guī)律 。 11 ??對甲增長的阻滯作用，乙大于甲 乙的競爭力強 模型 221 Nx??模型分析 ???????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??的趨向時 )(),( 21 txtxt ?? (平衡點及其穩(wěn)定性 ) (二階 )非線性(自治 )方程 ),()( ),()(212211xxgtxxxftx???? 的平衡點及其穩(wěn)定性 平衡點 P0(x10, x20) ~ 代數(shù)方程 0),(0),(2121??xxgxxf 的根 若從 P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m011 xtxt ???稱 P0是微分方程的 穩(wěn)定平衡點 ,)(l i m 022 xtxt ???模型 判斷 P0 (x10,x20) 穩(wěn)定性的方法 ——直接法 (1)的近似線性方程 )1(),()(),()(212211xxgtxxxftx????)2())(,())(,()())(,())(,()(0220201011020120220201011020112121xxxxgxxxxgtxxxxxfxxxxftxxxxx??????????02121PxxxxggffA ???????????????????AqgfpqpPxxd et)(00212??平衡點 P0穩(wěn)定 (對 2,1) p 0 且 q 0 平衡點 P0不穩(wěn)定 (對 2,1) p 0 或 q 0 ),0(),0,( 2211 NPNP平衡點：???????????????????????????????01),(01),(221122221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxf?????????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??僅當 ?1, ?2 1或 ?1, ?2 1時， P3才有意義 模型 )0,0(,1)1(,1)1(4212221113 PNNP??????????????????????????????????????????????????????????????2211221222211122111121212121NxNxrNxrNxrNxNxrggffAxxxx????平衡點穩(wěn)定性分析 4,3,2,1,de t,)( 21 ????? iAqgfpipipxx?????????????????????????????2211222212211111211),(1),(NxNxxrxxgNxNxxrxxf??平衡點 Pi 穩(wěn)定條件： p 0 且 q 0 種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性 不穩(wěn)定 平 衡點 )0,( 11 Np )1( 221 ??? rrp q)1( 221 ??? rr),0( 22 Np 211 )1( rr ??? ? )1( 121 ??? rr????????????212221113 1)1(,1)1(?????? NNp2121211)1)(1(???????rr)0,0(4p )( 21 rr ?? 21rr2122111)1()1(???????? rr?21, ?11, P1, P2 是一個種群存活而另一滅絕的平衡點 P3 是兩種群共存的平衡點 ?11, ?21 P1穩(wěn)定的條件 ?11 ? ?11 ?21 穩(wěn)定條件 結(jié)果解釋 對于消耗甲的資源而言，乙 (相對于 N2)是甲 (相對于 N1)的 ?1 倍。 xn, xn+1, … , xn+k1 ) 的差分方程的解可以在計算機上實現(xiàn) . 若有常數(shù) a是差分方程 (36)的解 , 即 F (n