【正文】 y 2i111i)(1)1(1??????? ???kikiki yyy ??此即 改進(jìn)的歐拉法 。而在實(shí)際上對初值問題，一般是要求得到解在若干個點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。Dx=2*x3*y+3*z39。 ) 結(jié) 果： u = tg(tc) 例 2 求微分方程的特解 . ??????????15)0(39。t 39。) 結(jié) 果 為 : y =3e2xsin（ 5x） 例 3 求微分方程組的通解 . ??????????????????zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx244354332解 輸入命令 ： [x,y,z]=dsolve(39。)； x=simple(x) % 將 x化簡 y=simple(y) z=simple(z) 結(jié) 果 為： x = (c1c2+c3+c2e 3tc3e3t)e2t y = c1e4t+c2e4t+c2e3tc3e3t+c1c2+c3)e2t z = (c1e4t+c2e4t+c1c2+c3)e2t 返 回 四、微分方程的數(shù)值解 （一）常微分方程數(shù)值解的定義 在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解。 使用數(shù)值積分 對方程 y’=f(x,y), 兩邊由 xi到 xi+1積分，并利用梯形公式，有： ))](,())(,([2))(,()()( 1111 1 ???? ????? ? ? iiiiiixxii xyxfxyxfxxdttytfxyxy ii實(shí)際應(yīng)用時，與歐拉公式結(jié)合使用： ?????????????????,2,1,0 )],(),([2),()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyykiiiiikiiiii的計(jì)算。 返 回 （三）可以用 Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解 [t， x]=solver（’ f’,ts,x0,options） ode45 ode23 ode113ode15sode23s 由待解方程寫成的 m文件名 ts=[t0， tf]，t0、 tf為自變量的初值和終值 函數(shù)的初值 ode23：組合的 2/3階龍格 庫塔 芬爾格算法 ode45：運(yùn)用組合的 4/5階龍格 庫塔 芬爾格算法 自變量值 函數(shù)值 用于設(shè)定誤差限 (缺省時設(shè)定相對誤差 103, 絕對誤差 106), 命令為： options=odeset（’ reltol’,rt,’abstol’,at） , rt， at：分別為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差 . (Logistic模型、 Verhulst模型 ) Malthus 模型在 1840 年由人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家Verhulst 修正。人口容量不易準(zhǔn)確得到是阻滯增長模型的不足之處，實(shí)際上人口容量也是隨人們對自然資源的開發(fā)水平不斷提高而改變的。 在數(shù)學(xué)建模競賽活動中，很多問題中涉及到的微分方 程是一類稱為 自治系統(tǒng) 的方程 。tytxgtytytxftx?????二階方程的 平衡點(diǎn) 是 指代數(shù)方程組 0),(0),(?????yxgyxf 的解 （可能不止一組解）。 (b) 線性問題研究 : 求解 x’ = f ’( x0 )( x – x0 ) , 解得 非線性方程 ( 兩個方程 ) 組情況 平衡點(diǎn) : 解 f (x , y) = 0 , 得 x = x 0 g ( x , y ) = 0 , y = y 0 . y ’( t ) = g ( x ( t ) , y ( t ) ) 形式 : x ’( t ) = f ( x ( t ) , y( t ) ) , 穩(wěn)定意義 : 當(dāng) t → +∞ 時 , 如 x → x 0 , y → y 0 , 則稱 ( x0 , y0 ) 是穩(wěn)定的平衡點(diǎn) 。2121tytxWbbaaAWAtW ，其中，)()()(39。 cosβt ） （ k = 1 ， 2 ） 趨于 +∞ ，仍可推出 系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 ? 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等） ? 再生資源應(yīng)適度開發(fā) ——在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。 甲對乙有同樣的作用。 ② 當(dāng) ?1, 2=?是兩個相同實(shí)根時 ,二階常系數(shù)線性差分 方程的通解為 xn= x* + (C1 + C2 n)?n。 xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 (36) 若有 xn = x (n), 滿足 F(n。 ? 當(dāng)兩個種群為爭奪同一食物來源和生存空間相互競爭時，常見的結(jié)局是，競爭力弱的滅絕，競爭力強(qiáng)的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量。)()()(39。 βi 中 α 為負(fù)數(shù) （ k = 1 ， 2 ） ， 故當(dāng) t → +∞ 時， eλk t = eαt（ sinβt 177。 g ( x , y ) ≈ g ’x( x0 , y0 )))(,)(()(39。 txftx ?一階方程 自治方程 中的解隨時間不斷變大如有穩(wěn)定變化趨勢， 則這個解的 最終趨勢值 只能是該方程的 平衡點(diǎn) 。 有時候 , 初始條件變化導(dǎo)致解的性態(tài)差異會隨時間變大 后而消失 , 這時稱該 系統(tǒng)是穩(wěn)定 的 . 在實(shí)際問題中 , 初始狀態(tài)不能精確地而只能近似地確定 , 所以穩(wěn)定性問題的研究對于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的實(shí)際意義。0r和mx可由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定。 k越大，則數(shù)值公式的精度越高。的相應(yīng)近似值求出準(zhǔn)確值，值處，即對的若干離散的開始其數(shù)值解是指由初始點(diǎn)，：對常微分方程nnnyyxyxyxxxxxy)y ( xf ( x , y )y39。,39。,39。三、利用 Matlab求微分方程的解析解 求微分方程（組）的解析解命令 : dsolve(‘方程 1’, ‘方程 2’,…‘ 方程 n’, ‘初始條件’ , ‘自變量’ ) 記號 : 在表達(dá)微分方程時，用字母 D 表示求微分， D2 、 D3 等表示求高階微分 . 任何 D 后所跟的字母為因變量，自變量可以指定或由系統(tǒng)規(guī)則選定為確省 .例如，微分方程 022?dxyd應(yīng)表達(dá)為： D 2y= 0.例 1 求 21 udtdu ?? 的通解 .解 輸入命令： d s o l v e ( 39。y(0)=0,Dy(0)=1539。Dz=4*x4*y+2*z39。 ,y )(,),(),y ( x x 2121210000??? ?????????返 回 （二）建立數(shù)值解法的一些途徑 ??????????001 ,1,2,1,0 , y)y ( xf ( x , y )y39。 ?歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。滿足上述性質(zhì)的增長率可以寫作 )1()(0mxxrxr ??