【正文】 且 使接觸的健康人致病 建模 ttNitstittiN ????? )()]([)]()([ ?????????0)0()1(iiiidtdi?? ~ 日 接觸率 SI 模型 teiti?????????????1111)(0????????0)0()1(iiiidtdi?模型 2 1/2 tm i i0 1 0 t ?????????? ? 11ln01it m ?tm~傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻 ? (日接觸率 )? ? tm? 1???? itLogistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大 模型 3 傳染病無(wú)免疫性 ——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染 增加假設(shè) SIS 模型 3）病人每天治愈的比例為 ? ? ~日 治愈率 ttNittitNstittiN ??????? )()()()]()([ ??建模 ??? /?? ~ 日接觸率 1/? ~感染期 ? ~ 一個(gè)感染期內(nèi) 每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱(chēng)為 接觸數(shù) 。))(,)(()(39。 txftx ? 0x 如果存在某個(gè)鄰域，使微分方程的解 { x ( t ) ， y ( t ) } 從這個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)點(diǎn) { x ( 0 ) ， y ( 0 ) } 出發(fā) ， 滿(mǎn)足 : ,)(l i m,)(l i m 00 ytyxtx tt ?? ?????? 則稱(chēng)微分方程 的 平衡點(diǎn) 是 穩(wěn)定 的。( x x0 ) + f ’y ( x0 , y0 )2121tybtxbtytyatxatx??????? 或?qū)憺? (1) 當(dāng) p ＞ 0 , q ＞ 0 時(shí) , 如果 p2 – 4q ≥ 0，由 λ1 +λ2 = p , λ1 ?λ2 = q , 推得 λ1 與 λ2 均為負(fù)數(shù) ， 故當(dāng) t → +∞ 時(shí)， e λ1 t 與 e λ2 t 均趨于零 ， 系統(tǒng)穩(wěn)定 。 由 λ1 ?λ2 = q , 可推出 λ1 與 λ2 中至少有一個(gè)為 正數(shù)， 故當(dāng) t → +∞ 時(shí)， eλ1 t 與 eλ2 t 中至少有一個(gè)趨于 +∞ ， 當(dāng) p ＞ 0 , q ＞ 0 時(shí) , 相應(yīng)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的； )()()()(39。 ? 如果使捕撈量等于自然增長(zhǎng)量， 漁場(chǎng)魚(yú)量將保持不變 ，則捕撈量穩(wěn)定。 11 ??對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙大于甲 乙的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng) 模型 221 Nx??模型分析 ???????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??的趨向時(shí) )(),( 21 txtxt ?? (平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 ) (二階 )非線(xiàn)性(自治 )方程 ),()( ),()(212211xxgtxxxftx???? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn) P0(x10, x20) ~ 代數(shù)方程 0),(0),(2121??xxgxxf 的根 若從 P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有 ,)(l i m011 xtxt ???稱(chēng) P0是微分方程的 穩(wěn)定平衡點(diǎn) ,)(l i m 022 xtxt ???模型 判斷 P0 (x10,x20) 穩(wěn)定性的方法 ——直接法 (1)的近似線(xiàn)性方程 )1(),()(),()(212211xxgtxxxftx????)2())(,())(,()())(,())(,()(0220201011020120220201011020112121xxxxgxxxxgtxxxxxfxxxxftxxxxx??????????02121PxxxxggffA ???????????????????AqgfpqpPxxd et)(00212??平衡點(diǎn) P0穩(wěn)定 (對(duì) 2,1) p 0 且 q 0 平衡點(diǎn) P0不穩(wěn)定 (對(duì) 2,1) p 0 或 q 0 ),0(),0,( 2211 NPNP平衡點(diǎn)：???????????????????????????????01),(01),(221122221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxf?????????? ???22111111 1)( NxNxxrtx ?????????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??僅當(dāng) ?1, ?2 1或 ?1, ?2 1時(shí)， P3才有意義 模型 )0,0(,1)1(,1)1(4212221113 PNNP??????????????????????????????????????????????????????????????2211221222211122111121212121NxNxrNxrNxrNxNxrggffAxxxx????平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析 4,3,2,1,de t,)( 21 ????? iAqgfpipipxx?????????????????????????????2211222212211111211),(1),(NxNxxrxxgNxNxxrxxf??平衡點(diǎn) Pi 穩(wěn)定條件： p 0 且 q 0 種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 不穩(wěn)定 平 衡點(diǎn) )0,( 11 Np )1( 221 ??? rrp q)1( 221 ??? rr),0( 22 Np 211 )1( rr ??? ? )1( 121 ??? rr????????????212221113 1)1(,1)1(?????? NNp2121211)1)(1(???????rr)0,0(4p )( 21 rr ?? 21rr2122111)1()1(???????? rr?21, ?11, P1, P2 是一個(gè)種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn) P3 是兩種群共存的平衡點(diǎn) ?11, ?21 P1穩(wěn)定的條件 ?11 ? ?11 ?21 穩(wěn)定條件 結(jié)果解釋 對(duì)于消耗甲的資源而言，乙 (相對(duì)于 N2)是甲 (相對(duì)于 N1)的 ?1 倍