【正文】 源 ( 自然資源條件和環(huán)境條件 ) 的約束，人口存在一個最大容量mx。滿足上述性質(zhì)的增長率可以寫作 )1()(0mxxrxr ?? () 這樣 Malthus 模型公式 () 變?yōu)? ??????????00)0()1(ddxxxxxrtxm () 稱為阻滯增長模型或 Logistic 模型。更復(fù)雜的人口模型需考慮隨時間和人口變化的人口增長率、同樣隨時間改變的人口容量以及與育齡婦女和人口年齡分布有關(guān)的人口基數(shù)，此外還需考慮天災(zāi)、戰(zhàn)爭等隨機性因素對人口的影響。 也就是說，在具有穩(wěn)定性特征的微分方程模型中 , 長遠 來看 , 最終發(fā)展結(jié)果與精確的初始狀態(tài)究竟如何 , 兩者 之間沒有多大關(guān)系 , 初始狀態(tài)刻畫得精確不精確是無關(guān) 緊要的。 自治方程 是指方程中不顯含自變量 t 的微分方程，例如 ))(,)(()(39。 ))(()(39。 0x},{ 00 yx 如果存在某個鄰域，使微分方程的解 x ( t ) 從這個鄰域 內(nèi)的某個點 x ( 0 ) 出發(fā) ， 滿足 : ,)(lim 0xtxt ????則稱微分方程 的 平衡點 是 穩(wěn)定 的； ))(()(39。tytxgtytytxftx????? },{00 yx 上述 一階自治方程 和 二階自治方程組 解的 穩(wěn)定性理論 結(jié)果可簡介如下： 非線性方程 ( 一個方程 ) 情況 形式 : x’( t ) = f ( x( t ) ) 平衡點 : 解 f ( x ) = 0 , 得 x = x0 . 注意 : 有時該方程的 根不止一個 . 穩(wěn)定意義 : 當 t →∞ 時 , 如 x → x 0 , 則稱 x0 是穩(wěn)定的 平衡點 。 否則稱 ( x0 , y0 ) 是不穩(wěn)定平衡點 . 上面的方程組有時可能不止一組解 . 研究方法 : (a) 作 f ( x , y ) 與 g ( x , y ) 的線性替代（利用二元函數(shù) 的泰勒展開式） : f ( x , y ) ≈ f’’x( x0 , y0 )( x x0 ) + g ’y ( x0 , y0 ))()()(39。 cosβt ） （ k = 1 ， 2 ） 也均趨于零 ， 系統(tǒng)仍為穩(wěn)定 的 ； (2) 當 p ＜ 0 時 , 如果 p2 – 4q ≥ 0 ，由 λ1 +λ2 = p , 可推出 λ1 與 λ2 中至少有一個為正數(shù)， 故當 t → +∞ 時， eλ1 t 與 eλ2 t 中至少有一個 趨于 +∞ ， 系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 (3) 當 q ＜ 0 時 , 此時必定有 p2 – 4q ≥ 0 ， 此時 系統(tǒng)也必不穩(wěn)定 。21212121AD e tqATrpbbaaAtWAtWtybtxbtytyatxatx?????????????????????，或， 當 p ＜ 0 或當 q ＜ 0 時 , 相應(yīng)的平衡點是不穩(wěn)定的。 問題及 分析 ? 在 捕撈量穩(wěn)定 的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 ? 建立數(shù)學(xué)模型描述兩個種群相互競爭的過程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。 對于消耗甲的資源而言，乙 (相對于 N2)是甲(相對于 N1) 的 ?1 倍。 x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0, 則稱 xn = x (n)是差分方程 (36)的 解 , 包含個任意常數(shù)的解稱為 (36)的 通解 , x0, x1, … , xk1為已知時稱為 (36)的 初始條件 ,通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為 (36)的 特解 . k 若 x0, x1, … , xk1已知 , 則形如 xn+k = g(n。 ③ 當 ?1, 2= ? (cos? + i sin? ) 是一對共軛復(fù)根時 ,二階常系數(shù)線性差分 方程的通解為 xn = x*+ ? n (C1cosn? + C2sinn? ). 易知 ,當且僅當特征方程的任一特征根 |?i |＜ 1時 , 平衡點 x*是穩(wěn)定的 . 則 對于一階非線性差分方程 xn+1 = f (xn ) 其平衡點 x*由代數(shù)方程 x = f (x) 解出 . 為分析平衡點 x*的穩(wěn)定性 , 將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線性差分方程 * ) ,(*)* ) ((1 xfxxxfx nn ?????1|*)(| ?? xf時 ,上述近似線性差分方程與 原 非線性差分方程的 穩(wěn)定性相同 . 因此 當 時 , x*是穩(wěn)定的； 當 1|*)(| ?? xf時 , x*是不穩(wěn)定的 . 當 1|*)(| ?? xfApplication:常微分方程可化為差分方程 用導(dǎo)數(shù)近似式替代導(dǎo)數(shù)或者說用適當近似式替代含有導(dǎo)數(shù)的表達式，可以得到這些近似值滿足的代數(shù)方程 差分方程 以二階常微分方程邊值問題為例 ??????????0)()()()()(21 xqdbydaybxaxfyxqyihaxn abh i ???? 令, )(, ii xyy ?目的求 iy差分法 2111 2)(hyyyxy iiii??? ?????0)()()()( ??? iiii xfxyxqxy????????? ??210211,)2(dydyfhyyqyniiiii差分方程 。 a, a, … , a ) = 0, 則稱 a是差分方程 (36)的 平衡點 . 又對差分方程 (36)的任意由初始條件確定的解 xn= x(n)都有 xn→ a (n→∞ ), 則稱這個平衡點 a是 穩(wěn)定 的 . 一階常系數(shù)線性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中 a, b為常數(shù) , 且 a ≠ 1, 0)的通解為 xn=C( a) n + b/(a + 1) 易知 b/(a+1)是其平衡點 , 由上式知 , 當且僅當|a|＜ 1時 , b/(a +1)是穩(wěn)定的平衡點 . 二階常系數(shù)線性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中 a, b, r為常數(shù) . 當 r = 0時 , 它有一特解 x* = 0； 當 r ≠ 0, 且 a + b + 1≠ 0時 , 它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪種情形 , x*是其平衡點 . 設(shè)其特征方程 ?2 + a? + b = 0 的兩個根分別為 ?=?1, ?=?2. ① 當 ?1, ?2是兩個不同實根時 ,二階常系數(shù)線性差分 方程的通解為 xn= x*+ C1(?1)n + C2(?2)n 。 11 ??對甲增長的阻滯作用，乙小于甲?乙的競爭力弱 ? P1穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ?21 ?甲的競爭力強 甲達到最大容量，乙滅絕 ? P2穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 ? P3穩(wěn)定的條件： ?11, ?21 通常 ?1 ? 1/?2， P3穩(wěn)定條件不滿