【正文】 xn, xn+1, … , xn+k1 ) 的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn) . 若有常數(shù) a是差分方程 (36)的解 , 即 F (n。 ???????? ???22112222 1)( NxNxxrtx ??)1()(11111 Nxxrtx ??????????? ??11111 1)( Nxxrtx?模型假設(shè) ? 有甲乙兩個(gè)種群，它們獨(dú)自生存時(shí)數(shù)量變化均服從 Logistic規(guī)律 。 綜述之，在線性方程組非臨界（ p ≠ 0 ) 情況中 (C) 非線性問題的 穩(wěn)定性結(jié)論 : (i) 若相應(yīng)的線性問題是 穩(wěn)定 的 , 則對應(yīng)非線性問題也 是 穩(wěn)定 的 ； (ii) 若相應(yīng)的線性問題是 不穩(wěn)定 的 , 則對應(yīng)非線性問題 也是 不穩(wěn)定 的 . 在非臨界情況下 （ p ≠ 0 ) ， 穩(wěn)定性模型 ? 對象仍是動(dòng)態(tài)過程，而建模目的是研究時(shí)間充分長以后過程的變化趨勢 ——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。 如果 p2 – 4q ＜ 0，仍由 λ1 +λ2 = p , 可推出 λk = α177。( y y0 ). (b) 線性問題研究 : 記 a1= f ’x( x0, y0 ) , a2 = f ’ y ( x0, y0 ) , b1 = g ’x ( x0, y0 ) , b2 = g ’ y ( x0, y0 ) , p = ( a1 + b2 ) , q = a1 b2 a2 b1 , 并無妨設(shè) x0 = 0 , y0 = 0 。 否則稱 x0 是不穩(wěn)定平衡點(diǎn) . txfecxtx ???? )(00 0)( 由此 , 當(dāng) f ’( x0 ) ＜ 0 時(shí) , x → x 0 。 txftx ?一階方程 的 平衡點(diǎn) 是指代數(shù)方程 0))(( ?txf 的根 （可能不止一個(gè)根） ； ))(,)(()(39。 微分方程穩(wěn)定性理論 可以使我們在很多情況下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描繪的系統(tǒng)是 穩(wěn)定 或 不穩(wěn)定 的結(jié)論。由分離變量法，解得 trmmxxxtx0e)1(1)(0???? () 人口增長率隨人口數(shù)量變化曲線以及人口數(shù)量隨時(shí)間變化曲線如下 圖 3 1 人口增長率和人口數(shù)量曲線 x t2mx mxuii uiuitxddxmx0x阻滯增長模型與美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)從1800 年到 1960 年都吻合較好， 1960 年后，誤差變大。 ?龍格 庫塔法有二階公式和四階公式。 nihxx ii 解微分方程：可用以下離散化方法求設(shè) ?用差商代替導(dǎo)數(shù) 若步長 h較小，則有 hxyhxyxy )()()(39。, 39。,39。 D u = 1 + u ^ 2 39。D2y+4*Dy+29*y=039。Dy=4*x5*y+3*z39。 。 數(shù)值公式的精度 當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為 O（ hk+1）時(shí)（ k為正整數(shù)， h為步長），稱它是一個(gè) k階公式 。它具有以下性質(zhì)：當(dāng)人口數(shù)量)( tx很小且遠(yuǎn)小于mx時(shí)，人口以固定增長率0r增加；當(dāng))( tx接近mx時(shí)，增長率為零。 ?????????0)0()1(iiiiidtdi????????????1,01,11)(???i)]11([ ?? ???? iidtdi模型 3 i0 i0 接觸數(shù) ? =1 ~ 閾值 ??? /?1?? ?? )( ti形曲線增長按 Sti )(?感染期內(nèi) 有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù) 小01i??11/? i0 iiidtdi ?? ??? )1(模型 2(SI模型 )可以看作模型 3(SIS模型 )的特例 i di/dt 0 1 ? 1 0 t i ? 1 11/? i 0 t ? ?1 di/dt 0 模型 4 傳染病有免疫性 ——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱 移出者 SIR模型 假設(shè) 1）總?cè)藬?shù) N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為 )(),(),( trtsti2）病人的日接觸率 ? , 日 治愈率 ?, 接觸數(shù) ? = ? / ? 建模 1)()()( ??? trtits需建立 的兩個(gè)方程 )(),(),( trtstittNittitNstittiN ??????? )()()()]()([ ??模型 4 SIR模型 很?。┩ǔ?000 )0((1 rrsi ???無法求出 的解析解 )(),( tsti在相平面 上 研究解的性質(zhì) is ~ttitNststtsN ?????? )()()]()([ ????????????????00)0(,)0( ssiisidtdsisidtdi???????????? 0011iisdsdiss?000 ln1)()(sssissi?????模型 4 ???????????????00)0(,)0( ssiisidtdsisidtdi?????? /?消去 dt SIR模型 }1,0,0),{( ????? isisisD相軌線 的定義域 )(si相軌線 1 1 s i 0 D 在 D內(nèi)作相軌線 的圖形，進(jìn)行分析 )(sis i 1 0 1 D 模型 4 SIR模型 相軌線 及其分析 )(si???????????????00)0(,)0( ssiisidtdsisidtdi???????????? 0011iisdsdiss?000 ln1)()(sssissi?????0ln1000 ??????? sssiss?滿足miis ?? ,/1 ?傳染病蔓延 傳染病不蔓延 s(t)單調(diào)減 ?相軌線的方向 0, ??? itP1 ?s0 ?/1im ?sP1: s01/? ? i(t)先升后降至 0 P2: s01/? ? i(t)單調(diào)降至 0 1/?~閾值 P3 P4 P2 S0 ?????ssss00 lnln?模型 4 SIR模型 預(yù)防傳染病蔓延的手段 ? (日接觸率 )? ? 衛(wèi)生水平 ? ?(日 治愈率 )? ? 醫(yī)療水平 ? 傳染病不蔓延的條件 ——s01/? ? 的估計(jì) 0ln1000 ?????? sssis?0i忽略? 降低 s0 提高 r0 1000 ??? ris? 提高閾值 1/? 降低 ?(=?/?) ? ?, ? ? 群體免疫 五、 微分方程 穩(wěn)定性分析 用微分方程方法建立的動(dòng)態(tài)模型問題 模型分析 中的一個(gè) 重要問題是： 當(dāng)時(shí)間充分長后 ，動(dòng)態(tài)過程的 變化趨勢 是什么？