微分方程和差分方程簡介精簡版-展示頁
2025-05-27 04:18本頁面
【正文】 傳染病不蔓延 s(t)單調(diào)減 ?相軌線的方向 0, ??? itP1 ?s0 ?/1im ?sP1: s01/? ? i(t)先升后降至 0 P2: s01/? ? i(t)單調(diào)降至 0 1/?~閾值 P3 P4 P2 S0 ?????ssss00 lnln?模型 4 SIR模型 預(yù)防傳染病蔓延的手段 ? (日接觸率 )? ? 衛(wèi)生水平 ? ?(日 治愈率 )? ? 醫(yī)療水平 ? 傳染病不蔓延的條件 ——s01/? ? 的估計(jì) 0ln1000 ?????? sssis?0i忽略? 降低 s0 提高 r0 1000 ??? ris? 提高閾值 1/? 降低 ?(=?/?) ? ?, ? ? 群體免疫 五、 微分方程 穩(wěn)定性分析 用微分方程方法建立的動(dòng)態(tài)模型問題 模型分析 中的一個(gè) 重要問題是： 當(dāng)時(shí)間充分長后 ，動(dòng)態(tài)過程的 變化趨勢 是什么？ 微分方程模型中 , 方程 ( 組 ) + 初始條件 → 解 初始條件的作用在于確定解 , 它 的微小變化會產(chǎn)生不同的 解，換言之，對解的發(fā)展性態(tài)變化 , 往往具有影響作用 . 問題是這種對解的發(fā)展性態(tài)的影響作用是 長期存在 的 , 還是當(dāng)時(shí)間充分大以后 , 影響作用會 “ 消逝 ” ? （ 1）微分方程模型的穩(wěn)定性及其實(shí)際意義 有時(shí)候 , 初始條件的微小變化會導(dǎo)致解的性態(tài)隨時(shí)間變 大后 , 產(chǎn)生顯著的差異 , 這時(shí)稱 系統(tǒng)是不穩(wěn)定 的 。更復(fù)雜的人口模型需考慮隨時(shí)間和人口變化的人口增長率、同樣隨時(shí)間改變的人口容量以及與育齡婦女和人口年齡分布有關(guān)的人口基數(shù)，此外還需考慮天災(zāi)、戰(zhàn)爭等隨機(jī)性因素對人口的影響。這時(shí)因?yàn)榈?1960 年美國的實(shí)際人口已經(jīng)突破了用過去數(shù)據(jù)確定的最大人口容量。滿足上述性質(zhì)的增長率可以寫作 )1()(0mxxrxr ?? () 這樣 Malthus 模型公式 () 變?yōu)? ??????????00)0()1(ddxxxxxrtxm () 稱為阻滯增長模型或 Logistic 模型。它具有以下性質(zhì)：當(dāng)人口數(shù)量)( tx很小且遠(yuǎn)小于mx時(shí)，人口以固定增長率0r增加；當(dāng))( tx接近mx時(shí)，增長率為零。他提出的假設(shè)包括： 1 、 由于自然資源 ( 自然資源條件和環(huán)境條件 ) 的約束，人口存在一個(gè)最大容量mx。 ?線性多步法有四階阿達(dá)姆斯外插公式和內(nèi)插公式。 ?歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。 數(shù)值公式的精度 當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為 O（ hk+1）時(shí)（ k為正整數(shù)， h為步長），稱它是一個(gè) k階公式 。然后繼續(xù)下一步，取時(shí)，當(dāng)滿足，對于已給的精確度 ）（ y y 2i111i)(1)1(1??????? ???kikiki yyy ??此即 改進(jìn)的歐拉法 。 ???故有公式： 1n,0,1,2 ,i )( ),(001 ?????????xyyyxhfyy iiii此即 歐拉法 。 ,y )(,),(),y ( x x 2121210000??? ?????????返 回 （二）建立數(shù)值解法的一些途徑 ??????????001 ,1,2,1,0 , y)y ( xf ( x , y )y39。 。而在實(shí)際上對初值問題，一般是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。t39。Dz=4*x4*y+2*z39。Dy=4*x5*y+3*z39。Dx=2*x3*y+3*z39。x39。y(0)=0,Dy(0)=1539。D2y+4*Dy+29*y=039。 ) 結(jié) 果： u = tg(tc) 例 2 求微分方程的特解 . ??????????15)0(39。 , 39。三、利用 Matlab求微分方程的解析解 求微分方程（組）的解析解命令 : dsolve(‘方程 1’, ‘方程 2’,…‘ 方程 n’, ‘初始條件’ , ‘自變量’ ) 記號 : 在表達(dá)微分方程時(shí)，用字母 D 表示求微分， D2 、 D3 等表示求高階微分 . 任何 D 后所跟的字母為因變量，自變量可以指定或由系統(tǒng)規(guī)則選定為確省 .例如，微分方程 022?dxyd應(yīng)表達(dá)為： D 2y= 0.例 1 求 21 udtdu ?? 的通解 .解 輸入命令： d s o l v e ( 39。 D u = 1 + u ^ 2 39。t 39。,0)0(029422yyydxdydxyd 解 輸入命令 : y=dsolve(39。,39。,39。) 結(jié) 果 為 : y =3e2xsin（ 5x） 例 3 求微分方程組的通解 . ??????????????????zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx244354332解 輸入命令 ： [x,y,z]=dsolve(39。,39。,39。, 39。)； x=simple(x) % 將 x化簡 y=simple(y) z=simple(z) 結(jié) 果 為： x = (c1c2+c3+c2e 3tc3e3t)e2t y = c1e4t+c2e4t+c2e3tc3e3t+c1c2+c3)e2t z = (c1e4t+c2e4t+c1c2+c3)e2t 返 回 四、微分方程的數(shù)值解 （一）常微分方程數(shù)值解的定義 在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解。 因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的 。的相應(yīng)近似值求出準(zhǔn)確值，值處，即對的若干離散的開始其數(shù)值解是指由初始點(diǎn)，：對常微分方程nnnyyxyxyxxxxxy)y ( xf ( x , y )y39。 nihxx ii 解微分方程：可用以下離散化方法求設(shè) ?用差商代替導(dǎo)數(shù) 若步長 h較小，則有 hxyhxyxy )()()(39。 使用數(shù)值積分 對方程 y’=f(x,y), 兩邊由 xi到 xi+1積分，并利用梯形公式，有： ))](,())(,([2))(,()()( 1111 1 ???? ????? ? ? iiiiiixxii xyxfxyxfxxdttytfxyxy ii實(shí)際應(yīng)用時(shí)，與歐拉公式結(jié)合使用： ?????????????????,2,1,0 )],(),([2),()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyykiiiiikiiiii的計(jì)算。 故有公式： ????????? ???)()],(),([200111xyyyxfyxfhyy iiiiii使用泰勒公式 以此方法為基礎(chǔ)，有 龍格 庫塔（ Runge Kutta）法 、線性多步法 等方法。 k越大，則數(shù)值公式的精度越高。 ?龍格 庫塔法有二階公式和四階公式。 返 回 （三）可以用 Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解 [t， x]=solver（’ f’,
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