微分方程及其定解條件、等效積分(編輯修改稿)
2025-06-20 04:17 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 qn?? ? ?? ??? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ????B了解微分方程的抽象數(shù)學(xué)表達(dá)對(duì)理論研究是很有幫助的， 因?yàn)樵谘芯课⒎址匠痰囊话阈再|(zhì)或推導(dǎo)一些微分方程的 一般規(guī)律時(shí)，我們不可能對(duì)每個(gè)微分方程都推導(dǎo)一遍，這 時(shí)抽象表達(dá)是 就發(fā)揮重要作用了。下面我們就將見(jiàn)到一種 微分方程的普遍規(guī)律或者說(shuō)普遍的變換形式 —— 等效積分 形式 雖然是要推導(dǎo)一個(gè)普遍規(guī)律，但為了便于說(shuō)明，我們還 是從一個(gè)簡(jiǎn)單的特例出發(fā)，這個(gè)特列就是剛才提到的二 維拉普拉斯方程及其邊界條件 ? ?2222 0xy??????? ? ? ? ???A? ?00 qkqn?? ? ?? ??? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ????B這個(gè)二維拉普拉斯方程的求解域是一個(gè)平面區(qū)域 ?x?y?在求解域內(nèi)的一個(gè)小區(qū)域內(nèi) 拉普拉斯方程也是成立的， 也就是 2222 0 [ ]xyxy?? ??? ? ? ? ? ? ???如果方程兩邊同時(shí)乘以這個(gè)小區(qū)域的面積，結(jié)果會(huì)是 這樣 2 2 2 22 2 2 2 0 [ ]S x y x yx y x y? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?設(shè)想把求解域劃分成若干個(gè)小區(qū)域，也就是說(shuō)求解域的 面積等于這些小區(qū)域面積和 12 ni i iiiS S S SS x y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???對(duì)于每一個(gè)小區(qū)域來(lái)說(shuō)，剛才的推導(dǎo)也是成立的 2 2 2 22 2 2 2 0 [ ]i i i i iS x y x yx y x y? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?現(xiàn)在我們把它對(duì)所有小區(qū)域求和 現(xiàn)在我們把它對(duì)所有小區(qū)域求和 2222 0iiixyxy?????? ? ? ? ????????再進(jìn)一步，如果我們?nèi)〉男^(qū)域趨向無(wú)窮小，也就是 0 。 0iixy? ? ? ?回憶一下，高等數(shù)學(xué)中定積分的概念，立刻就可以得到 2 2 2 22 2 2 200l im d d 0iiiixiyx y x yx y x y? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ??對(duì)于邊界條件我們同樣可以做類似的分析 ? ?2222 d d d d 0qx y l k q lx y n?? ? ???? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ??? ??? ? ??????? ? ?上面的積分式成立根本原因是拉普拉斯方程及其邊界 條件成立，拉普拉斯方程從以下這個(gè)角度看待 22221 1 0xy?? ????? ? ? ? ???????現(xiàn)在，我們把 1換成其他的，任意的函數(shù)，同樣成立 2222 00vvxy?? ????? ? ? ? ? ???????對(duì)于邊界條件也可以這樣 ? ? 0v ????按照剛才的思路，同樣可以得到一個(gè)積分等式 0v k qn???????????? ?2222 d d d d 0qv x y v l v k q lx y n?? ? ???? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ??? ??? ? ??????? ? ?這個(gè)方程與拉普拉斯方程及其邊界條件是等效的，也就 是說(shuō)，只要拉普拉斯方程成立這個(gè)積分式就成立，反過(guò) 來(lái)只要這個(gè)積分式成立，拉普拉斯方程及其邊界條件就 成立。這就是拉普拉斯方程及其邊界條件的 等效積分形 式 。我們可以把它推廣到一般情況。 現(xiàn)在，我們來(lái)看一般的微分方程組的情況，之前曾 介紹過(guò)，微分方程組及其邊界條件可以表示為： ? ? ? ? ? ? ? ? T T12 , , , [ 0 ]mmA A A??????A u u u u? ? ? ? ? ? ? ? T T12 , , , [ 0 ]kkB B B??????B u u u u像上面拉普拉斯方程等效積分形式分析的過(guò)程一樣，對(duì) 微分方程組中每一個(gè)微分方程，以下的積分都是成立的 ? ? ? ? ? ?1 1 2 2d 0 , d 0 , , d 0nnv A v A v A? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?u u u12, , , nv v v都是任意的函數(shù)，把這些積分加起來(lái) ? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 2 d0nnv A v A v A? ? ? ? ? ?? u u u對(duì)于邊界條件也一樣，只是積分是沿邊界積分 ? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 2 d0kkv B v B v B?? ? ? ? ? ?? u u u上面這兩個(gè)積分，我們可以寫成矢量形式 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?T1 1 2 2 d d 0nnv A v A v A?? ? ? ? ? ? ? ???u u u v A u? ? ? ? ? ?? ? ? ?T1 1 2 2 d d 0kkv B v B v B? ? ? ?? ?
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