無窮級數(shù)與微分方程相關知識簡介(編輯修改稿)
2025-03-09 18:02 本頁面
【文章內容簡介】 以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂 . 規(guī)定 : 0 ! = 1 !)1( ?n例 10. ????1 2)1(nnnnx求冪級數(shù)的收斂域 . 解 : 令 ,1?? xt級數(shù)變?yōu)? nnn tn???1 21????????nnnn aaR limlim1nn21)1(11 ?? nn nnnnn 2)1(2lim 1 ?? ???2?當 t = 2 時 , 級數(shù)為 ,11?n n此級數(shù)發(fā)散 。 當 t = – 2 時 , 級數(shù)為 ,)1(1??? n此級數(shù)條件收斂 。 因此級數(shù)的收斂域為 ,22 ??? t故原級數(shù)的收斂域為 ,21 ???? x即 .3? x三、求函數(shù)的冪級數(shù)展開式 對函數(shù)作恒等變形（如果需要的話） 利用已知結論，用變量代換或求導積分得所求函數(shù)的冪級數(shù) 寫出收斂范圍 ?? x1 1 ?? ??????nxxxx 321 )1,1(??xe ?? ????? !!212nxxx n),( ?????xsin ?? ?????????)!12()1(!5!3121253nxxxx nn),( ???? ?? )1ln( x ?? ????????1)1(32132nxxxx nn]1,1(?的冪級數(shù)展開式 展開成 解： 例 1yx? 2x?112 2)yxx????（112212x????012( 1 ) ( )22nnnx??????10( 2)( 1 )2nnnnx????? 21 2 2 0 42x xx? ? ? ? ? ? ? ?微分方程 一、微分方程的基本概念 二、解微分方程 三、微分方程應用 含未知函數(shù)及其導數(shù)的方程叫做 微分方程 . 方程中所含未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程 一、微分方程的基本概念 的 階. ,xyyx ????020406080100第一季度 第三季度 東部西部北部例如： 一階微分方程 yxyx ????? 2)1( 2二階微分方程 — 使方程成為恒等式的函數(shù) . 通解 — 解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程 — 確定通解中任意常數(shù)的條件 . 初始條件 (或邊值條件 ): 的階數(shù)相同 . 特解 微分方程的 解 — 不含任意常數(shù)的解 , 定解條件 其圖形稱為 積分曲線 . 例 1. 驗證函數(shù) 是微分方程 tkCtkCx sincos 21 ??22ddtx的解 . 解 : 22txtkkC sin22? )cossin( 212 tkCtkCk ???2 0kx?? tkCtkCx sincos 21 ??是方程的解 . ),( 21 為常數(shù)CC tkkC cos21? 02 ?? xk二、解微分方程 1. 一階微分方程 可分離變量，一階線性 2. 高階微分方程 可降階微分方程，二階線性常系數(shù)齊次，二階線性常系數(shù)非齊次只要求寫出特解形式。 分離變量方程的解法 : xxfyyg d)(d)( ?(2)兩邊積分 yyg d)(? xxf d)(??① CxFyG ?? )()()(y)(xF② (3)得到通解 稱②為方程①的 隱式通解 , 或 通積分 . (1)分離變量 *例 2. 求微分方程 yxxy 23dd ?的通解 . 解 : 分離變量得 xxyy d3 2?兩邊積分 xxyy d3d 2?? ?得 Cxy lnln 3 ??即 3xeCy ?( C 為任意常數(shù) ) 因此可能增、 減解 . 一階線性微分方程 一階線性微分方程標準形式 : )()(dd xQyxPxy ??若 Q(x) ? 0, 0)(dd ?? yxPxy若 Q(x) ? 0, 稱為 非齊次方程 . 1. 解齊次方程 分離變量 xxPy d)(??兩邊積分得 CxxPy lnd)(ln ??? ?故通解為 xxPeCy d)(???稱為 齊次方程 。 對應齊次方程通解 xxPeCy d)(???齊次方程通解 非齊次方程特解 ?? xxPCe d)(2. 解非齊次方程 )()(dd xQyxPxy ??用 常數(shù)變易法 : ,)()( d)(??? xxPexuxy則 ??? xxPeu d)()(xP? ?? xxPeu d)()( xQ?故原方程的通解 xexQe xxPxP d)( d)(d)( ?? ?? ??????
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