【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 R2= . = tttt ugnpri n v ??? ? )l n ()l n ( 211 ??ttt uu ?? ?? ? 11)l n ()?l n ( 1 ttt gnprvni ?? ? ?? tt uu38 再對(duì)新的殘差序列進(jìn)行 LM檢驗(yàn) (p=2)，最終得到的檢驗(yàn)結(jié)果如下： 檢驗(yàn)結(jié)果不能拒絕原假設(shè)，即修正后的回歸方程的殘差序列不存在序列相關(guān)性。因此，用 AR(1)模型修正后的回歸方程的估計(jì)結(jié)果是有效的。 39 例 用 AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(guān) 例 列存在明顯的序列自相關(guān) 。 而且從相關(guān)圖看到 ， 可以采用 AR(3) 模型來修正回歸方程的自相關(guān)性 。 tttt uG D PcCSccCS ???? ? 2110ttttt uuuu ???? ???? ??? 332211回歸估計(jì)的結(jié)果如下： 40 模型建立如下： t = () () （ ） t = () () （ ） R2= = tttt uG D ..CS ?2506508665 1 ????? ?ttttt uuuu ????? ??? 321 41 再對(duì)新的殘差序列 進(jìn)行 LM檢驗(yàn) ， 最終得到的檢驗(yàn)結(jié)果如下： tε? 給出糾正后的殘差序列的 Q統(tǒng)計(jì)量和序列相關(guān)圖，在直觀上認(rèn)識(shí)到消除序列相關(guān)后的殘差序列是一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)序列。 42 含有 AR項(xiàng)模型的估計(jì)輸出 當(dāng)估計(jì)某個(gè)含有 AR項(xiàng)的模型時(shí) ， 在解釋結(jié)果時(shí)一定要小心 。 在用通常的方法解釋估計(jì)系數(shù) 、 系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差和 t統(tǒng)計(jì)量時(shí) ， 涉及殘差的結(jié)果會(huì)不同于 OLS的估計(jì)結(jié)果 。 要理解這些差別 ， 記住一個(gè)含有 AR項(xiàng)的模型有兩種殘差： 第一種是 無條件殘差 bxyu ttt ???? 通過原始變量以及估計(jì)參數(shù) ? 算出。在用同期信息對(duì) yt 值進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，這些殘差是可以觀測(cè)出的誤差，但要忽略滯后殘差中包含的信息。 43 第二種殘差是估計(jì)的 一期向前預(yù)測(cè)誤差 。 如名所示 ， 這種殘差代表預(yù)測(cè)誤差 。 對(duì)于含有 AR項(xiàng)的模型 ， 基于殘差的回歸統(tǒng)計(jì)量 ， 如 R2 (回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差 )和 DW值都是以一期向前預(yù)測(cè)誤差 為基礎(chǔ)的 。 含有 AR項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計(jì)量是估計(jì)的 AR系數(shù) 。 i??????44 對(duì)于簡(jiǎn)單 AR(1)模型 ， 是無條件殘差 的序列相關(guān)系數(shù) 。 對(duì)于平穩(wěn) AR(1)模型 ， ?1 在 1（ 極端負(fù)序列相關(guān) ） 和 +1（ 極端正序列相關(guān) ） 之間 。 一般 AR(p)平穩(wěn)條件是：滯后算子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi) 。 EViews在回歸輸出的底部給出這些根： Inverted AR Roots。如果存在虛根，根的模應(yīng)該小于 1。 tu?1??45 另外： EViews可以估計(jì)帶有 AR誤差項(xiàng)的 非線性回歸模型 。 例如：將例 ， 估計(jì)如下帶有附加修正項(xiàng) AR(3)的非線性方程： tcttt uGDPCSccCS ???? ? 2110 用公式法輸入： cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(1)+[ar(1)=c(4), ar(2)=c(5), ar(3)=c(6)] ttttt uuuu ???? ???? ??? 33221146 輸出結(jié)果顯示為： 47 167。 平穩(wěn)時(shí)間序列建模 本節(jié)將不再僅僅以一個(gè)回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)序列為研究對(duì)象 ， 而是直接討論一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列的建模問題 。 在現(xiàn)實(shí)中很多問題 ， 如利率波動(dòng) 、 收益率變化及匯率變化等通常是一個(gè)平穩(wěn)序列 ， 或者通過差分等變換可以化成一個(gè)平穩(wěn)序列 。 本節(jié)中介紹的 ARMA模型 (autoregressive moving average models)可以用來研究這些經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律 ， 這樣的一種建模方式屬于時(shí)間序列分析的研究范疇 。 48 經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列不同于橫截面數(shù)據(jù)存在重復(fù)抽樣的情況，它是一個(gè)隨機(jī)事件的惟一記錄，如中國(guó)1980年～ 2020年的進(jìn)出口總額是惟一的實(shí)際發(fā)生的歷史記錄。從經(jīng)濟(jì)的角度看，這個(gè)過程是不可重復(fù)的。橫截面數(shù)據(jù)中的隨機(jī)變量可以非常方便地通過其均值、方差或生成數(shù)據(jù)的概率分布加以描述，但是在時(shí)間序列中這種描述很不清楚。因此，經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列需要對(duì)均值和方差給出明晰的定義。 167。 平穩(wěn)時(shí)間序列的概念 49 如果隨機(jī)過程 的均值和方差、自協(xié)方差都不取決于 t，則稱 {ut}是協(xié)方差平穩(wěn)的或弱平穩(wěn)的： },,{ 12101 ????? ??? TTt uuuuuuu 注意，如果一個(gè)隨機(jī)過程是弱平穩(wěn)的，則 ut 與 uts 之間的協(xié)方差僅取決于 s ，即僅與觀測(cè)值之間的間隔長(zhǎng)度 s有關(guān)，而與時(shí)期 t 無關(guān)。一般所說的“平穩(wěn)性”含義就是上述的弱平穩(wěn)定義。 ??)( tuE2)v a r ( ??tu 對(duì)所有的 t 對(duì)所有的 t 對(duì)所有的 t 和 s sstt uuE ??? ??? ? ))((() () () 50 167。 ARMA模型 1. 自回歸模型 AR(p) p 階自回歸模型記作 AR(p)， 滿足下面的方程： () 其中：參數(shù) c 為常數(shù)； ?1 , ?2 ,… , ?p 是自回歸模型系數(shù)；p為自回歸模型階數(shù)； ?t 是均值為 0， 方差為 ? 2 的白噪聲序列 。 tptpttt uuucu ???? ?????? ??? ?221151 2. 移動(dòng)平均模型 MA(q) q 階移動(dòng)平均模型記作 MA(q) ， 滿足下面的方程： () 其中：參數(shù) ? 為常數(shù)；參數(shù) ?1 , ?2 ,… , ?q 是 q 階移動(dòng)平均模型的系數(shù)； ?t 是均值為 0， 方差為 ? 2的白噪聲序列 。 qtqtttu ?? ????? ?????? ?1152 3. ARMA(p,q)模型 () 顯然此模型是模型 ()與 ()的組合形式 ， 稱為混合模型 ， 常記作 ARMA(p,q)。 當(dāng) p=0 時(shí) ， ARMA(0, q) = MA(q) 當(dāng) q = 0時(shí) ， ARMA(p, 0) = AR(p) qtqttptptt uucu ???? ???????? ??????? ?? 111153 167。 ARMA模型的平穩(wěn)性 1. AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 為了理解 AR(p)、 MA(q)和 ARMA(p,q)模型的理論結(jié)構(gòu) ，簡(jiǎn)單的算子理論是必不可少的 。 對(duì)于 AR(p)模型 () 設(shè) L為滯后算子 ， 則有 Lut ? ut1, Lput ? utp， 特別地 ， L0ut?ut。 則式 （ ） 可以改寫為： tptpttt uuucu ???? ?????? ??? ?2211ttpp cuLLL ???? ?????? )1( 221 ?() 54 若設(shè) ?(L) ? 1 ?1 L ?2 L2 … ?p Lp ， 令 () 則 ?(z) 是一個(gè)關(guān)于 z的 p次多項(xiàng)式 ， AR(p) 模型平穩(wěn)的充要條件是 ?(z) 的根全部落在單位圓之外 。 式 ()可以改寫為滯后算子多項(xiàng)式的形式 可以證明如果 AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件 ， 則式 ()可以表示為 MA(?)的形式 ， 從而可以推導(dǎo)出來任何一個(gè)AR(p)模型均可以表示為白噪聲序列的線性組合 。 01)( 221 ?????? pP zzzz ??? ?Φtt cuL ???)(Φ() 55 2． MA(q) 模型的可逆性 考察 MA(q) 模型 若 的根全部落在單位圓之外 ， 則式 ()的 MA算子稱為可逆的 。 盡管不可逆時(shí)也可以表征任何給定的數(shù)據(jù) ， 但是一些參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)算法只有在使用可逆表示時(shí)才有效 。 tqqt LLLu ????? )1( 221 ?????? ?() ???????????? ttEt 0)(201 221 ????? qq zzz ??? ?56 3． ARMA(p,q) 模型的平穩(wěn)性條件 ARMA(p,q) 模型包括了一個(gè)自回歸模型 AR(p)和一個(gè)移動(dòng)平均模型 MA(q) 或者以滯后算子多項(xiàng)式的形式表示 qtqttptptt uucu ???? ???????? ??????? ?? 1111() tqqtppLLLcuLLL???????)1()1(221221???????????() 57 若令 則 ARMA(p,q)模型 ()平穩(wěn)的充要條件是 ?(z) 的根全部落在單位圓之外 。 01)( 221 ??????? pp zzzz ??? ?() ARMA模型構(gòu)造了一種更為復(fù)雜的白噪聲序列的線性組合 ， 近似逼近一個(gè)平穩(wěn)序列 。 可以看出 ARMA模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù) (?1 , ?2 ,… , ?p )， 而與移動(dòng)平均模型參數(shù) (?1 , ?2 ,… , ?q )無關(guān) 。 58 ARMA(p,q)模型中 AR和 MA部分應(yīng)使用關(guān)鍵詞 ar和 ma定義。在上面 AR定義中，我們已見過這種方法的例子，這對(duì) MA也同樣適用。 例如 ， 估計(jì)因變量為 LS的一個(gè) 2階自回歸和 1階動(dòng)平均過程 ARMA(2,1)， 應(yīng)將 AR(1), MA(1), AR(2) 包含在回歸因子列表中： LS c ar(1) ar(2) ma(1) 如果采用公式法輸入方程 ， 要將 AR項(xiàng)系數(shù)明確列出 ，形式為： LS = c(1)+[ar(1)=c(2),ar(2)=c(3)]。 含有 MA項(xiàng)只能用列表法 。 167。 ARMA(p,q)模型的估計(jì) 1. ARMA(p,q)模型的輸入形式 59 例 利用 AR(1) 模型描述上證指數(shù)的變化規(guī)律 本例取我國(guó)上證收盤指數(shù) （ 時(shí)間期間： 1991年 1月～ 2020年 8月 ） 的月度時(shí)間序列 S作為研究對(duì)象 ， 用AR(1)模型描述其變化規(guī)律 。 首先對(duì)其做變化率 ， srt = 100 (StSt1)/S t1（ t = 1, 2, ?, T） 這樣便得到了變化率序列 。 一般來講 ， 股價(jià)指數(shù)序列并不是一個(gè)平穩(wěn)的序列 ， 而通過變換后的變化率數(shù)據(jù) ，是一個(gè)平穩(wěn)序列 ， 可以作為我們研究 、 建模的對(duì)象 。記上證股價(jià)指數(shù)變化率序列為 sr。 60 建立如下