【正文】 模型： t = 1, 2, ?, T 估計輸出結(jié)果顯示為： ttt usrcsr ??? ? 1?61 圖 藍(lán)線是上證股價指數(shù)變化率序列 sr，紅線是 AR(1)模型的擬合值 從圖 1991年～ 1994年之間變化很大 ， 而后逐漸變小 ， 基本在 3%上下波動 。 近年來波動平緩 ， 并且大多在 3%下面波動 。 擬合曲線基本代表了這一時期的均值 。 62 對例 （ 時間期間： 1991年 1月～2020年 8月 ） 的月度時間序列 S的對數(shù)差分變換 LS=dlog(S)，即股票收益率用 ARMA(1,1)模型來估計 ， 來說明 EViews是如何估計一個 ARMA(p， q)模型的 。 建立方程 ， 輸入 LS c ar(1) ma(1) tt ucLS ??11 ?? ??? tttt uu ????63 估計輸出顯示： 64 11111111)()(??????????????????????????????ttttttttttSLSLucSL????????估計方程可寫為： t = () t = () （ ） R2= . = 也可寫為： tt uSL ?0 1 8 ??11 ?? ???? tttt uu ??65 2. ARMA(p,q)模型的輸出形式 一個含有 AR項(xiàng)的模型有兩種殘差：第一種是無條件殘差 ， 第二種殘差是估計的一期向前預(yù)測誤差 。 如名所示 ， 這種殘差代表預(yù)測誤差 。 實(shí)際上 ， 通過利用滯后殘差的預(yù)測能力 ， 改善了無條件預(yù)測和殘差 。 對于含有 ARMA項(xiàng)的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計量，如 R2和 。含有 AR項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計量是估計的 AR系數(shù)。對于簡單AR(1)模型， ?1是無條件殘差的一階序列相關(guān)系數(shù)。在輸出表中 ?1用 AR(1)表示， MA(1) 模型的系數(shù) ?1用 MA(1)表示。對于平穩(wěn) AR(1)模型， ?1在 1和 +1之間。 一般 AR(p) 模型平穩(wěn)條件是：滯后算子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi)。 tu? t??66 含有 AR或 MA項(xiàng)的模型的估計輸出和 OLS模型一樣 ，只是在回歸輸出的底部增加了一個 AR， MA多項(xiàng)式的根的倒數(shù) （ inverted AR roots 或 inverted MA roots） 。 我們利用滯后算子多項(xiàng)式寫一般的 ARMA模型： 如果 AR模型滯后多項(xiàng)式有實(shí)根或一對復(fù)根的倒數(shù)在單位圓外（即 絕對值大于 1，或 模大于 1），這意味著自回歸過程是 發(fā)散 的。如果 MA模型滯后多項(xiàng)式的根的倒數(shù)有在單位圓外的，說明 MA過程是 不可逆 的，應(yīng)使用不同的初值重新估計模型，直到得到滿足可逆性的動平均。 tt LcuL ?)()( ????67 4. ARMA(p,q)模型的估計選擇 EViews估計 AR模型采用非線性回歸方法 ， 對于 MA模型采取回推技術(shù) (Box and Jenkins,1976)。 這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于：易被理解 ， 應(yīng)用廣泛 ， 易被擴(kuò)展為非線性定義的模型 。 注意：非線性最小二乘估計漸進(jìn)等于極大似然估計且漸進(jìn)有效 。 非線性估計方法對所有系數(shù)估計都要求初值。 EViews自行確定初值。有時當(dāng)?shù)_(dá)到最大值時，方程終止迭代，盡管還未達(dá)到收斂。從前一步初值重新開始，使方程從中止處開始而不是從開始處開始。也可以試試不同的初值來保證估計是全部而不是局部平方誤差最小，可以通過提供初值加速估計過程。 68 為控制 ARMA估計初值 ， 在方程定義對話框單擊Options。 在 EViews提供的選項(xiàng)中 ， ARMA Options有幾項(xiàng)設(shè)置初值的選擇 。 EViews缺省方法是 OLS/TSLS，這種方法先進(jìn)行沒有 ARMA項(xiàng)的預(yù)備估計 ， 再從這些值開始非線性估計 。 另一選擇是使用 OLS或 TSLS系數(shù)的一部分作為初值 。 可以選擇 、 、 以將所有初值設(shè)為零 。 用戶確定初值選項(xiàng)是 User Supplied。 在這個選項(xiàng)下 ， EViews使用系數(shù)向量 C中的值 。 為設(shè)置初值 ， 雙擊圖標(biāo) ， 打開系數(shù)向量 C窗口 ， 進(jìn)行編輯 。 69 為適當(dāng)?shù)卦O(shè)置初值 ， 需對 EViews如何為 ARMA設(shè)置系數(shù)多些了解 。 系數(shù)向量 C按下列規(guī)則為變量安排系數(shù)： （ 1） 變量系數(shù) ， 以輸入為序； （ 2） 定義的 AR項(xiàng) ， 以輸入為序； （ 3） SAR， MA， SMA系數(shù) （ 按階數(shù) ） 。 這樣 ， 下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù)： Y c X ma(2) ma(1) sma(4) ar(1) Y sma(4 ) c ar(1) ma(2) X ma(1) 70 167。 ARMA模型的識別 1．利用自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)識別 ARMA(p, q) 模型 在實(shí)際研究中，通常的做法是根據(jù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)時間序列數(shù)據(jù)的樣本特征，來推斷經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的總體（真實(shí)）特征。在實(shí)際研究中，所能獲得的只是經(jīng)濟(jì)指標(biāo)時間序列 ut 的數(shù)據(jù)，根據(jù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的樣本特征，來推斷其總體（真實(shí)）特征。下面介紹利用 ut 的自相關(guān)系數(shù) (AC) 和偏自相關(guān)系數(shù) (PAC) 這兩個統(tǒng)計量去識別 ARMA(p, q) 模型。 71 通常的， AR(p) 模型的自相關(guān)系數(shù)是隨著滯后階數(shù) k的增加而呈現(xiàn)指數(shù)衰減或者震蕩式的衰減，具體的衰減形式取決于 AR(p) 模型滯后項(xiàng)的系數(shù)。因此，可以通過自相關(guān)系數(shù)來獲得一些有關(guān) AR(p) 模型的信息，如低階 AR(p) 模型系數(shù)符號的信息。如果 r1 ? 0 ，意味著序列 ut 是一階自相關(guān)。如果 rk 隨著滯后階數(shù) k 的增加而呈幾何級數(shù)減小，表明序列 ut 服從低階自回歸過程。如果 rk 在小的滯后階數(shù)下趨于零，表明序列 ut 服從低階移動平均過程 72 如果這種自相關(guān)的形式可由滯后小于 k階的自相關(guān)表示，那么偏相關(guān)在 k期滯后下的值趨于零。一個純的 p 階自回歸過程 AR(p) 的偏相關(guān)系數(shù)在 p階截尾，而純的動平均函數(shù)的偏相關(guān)過程漸進(jìn)趨于零。因此，如果我們能求出關(guān)于 ? k , k的估計值，并檢驗(yàn)其顯著性水平，就能夠確定時間序列 ut 的自相關(guān)的階數(shù)。 73 其中： ?t是均值為 0， 方差為 ? 2的白噪聲序列 ， ut的均值為 ?，則自 協(xié)方差 ?k 計算可得 () qkqkk????00() 2. MA模型的識別 MA(q)模型 qtqtttu ?? ????? ?????? ?11() ???????? ????????? ????? ?????????qiiktiktqjjtjttktk uu11E))(E( ??????????????????????? ??0)()1(1122212qkqkkqk ?????????? ??74 進(jìn)而得到 () 上式表明對 MA(q)模型 ， 當(dāng) k q 時 ， rk = 0。 ut與 ut+k 不相關(guān) ， 這種性質(zhì)通常稱為截尾 。 即 MA(q) 模型的自相關(guān)函數(shù)在 q 步以后是截尾的 。 ?????????????????????qkqkkrqqkqkkkk00101221110 ???????????75 MA(q) 的偏自相關(guān)系數(shù)的具體形式隨著 q 的增加變得越來越復(fù)雜 ， 很難給出一個關(guān)于 q 的一般表達(dá)式 ， 但是 ， 一個 MA(q) 模型對應(yīng)于一個AR(∞) 模型 。 因此 ， MA(q) 模型的偏自相關(guān)系數(shù)一定呈現(xiàn)出某種衰減的形式是拖尾的 。 故可以通過識別一個序列的偏自相關(guān)系數(shù)的拖尾形式 ， 大致確定它應(yīng)該服從一個 MA(q) 過程 。 76 3. AR模型的識別 可以不加證明的給出 AR(p)過程的自相關(guān)系數(shù) kppkkk gggr ??? ???? ?2211 () 其中 ?1 , ?2 , … , ?p 是 AR(p) 模型的特征多項(xiàng)式 02211 ????? ?? pppp ?????? ?() 的 p個特征根 ， g1 , g2 , … , gp為任意給定的 p個常數(shù) 。 77 由此可知 ， AR(p) 模型的自相關(guān)系數(shù)會由于 g1 , g2 , … , gp及 k取值的不同 ， 呈現(xiàn)出不同的衰減形式 ， 可能是指數(shù)式的衰減 ， 也可能是符號交替的震蕩式的衰減 。 例如 ， 對于 AR(1) 模型 ， 其自相關(guān)系數(shù)為 rk??1k ， 當(dāng) ?1 0時 ， rk呈指數(shù)式的衰減；當(dāng) ?1 0時 ， rk呈震蕩式的衰減 。 因此 ， 可以通過自相關(guān)系數(shù)來獲得一些有關(guān) AR(p) 模型的信息 ， 如低階 AR(p) 模型系數(shù)符號的信息 。 但是 ， 對于自回歸過程 AR(p)， 自相關(guān)系數(shù)并不能幫助我們確定AR(p) 模型的階數(shù) p。 所以 ， 可以考慮使用偏自相關(guān)系數(shù)?k,k， 以便更加全面的描述自相關(guān)過程 AR(p)的統(tǒng)計特征 。 78 這里我們通過簡單的證明給出 AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù) 。 對于一個 AR(p)模型 ， tptpttt uuuu ???? ????? ??? ?2211() 將式 （ ） 兩邊同時乘以 utk ( k = 1, 2 , … , p) ， 再對方程兩邊取期望值并除以序列 ut的方差得到如下關(guān)于系數(shù) ?1 , ?2 , … , ?p的線性方程組： ???????????????????????pppppppprrrrrrrrr?????????????22112221111121() 79 其中： r1 , r2 , … , rp分別為序列 ut 的 1 , 2 , … , p階自相關(guān)系數(shù) 。 對于形如 ()的 p(p =1,2,… ,k,… )階方程組求解 ， 每個方程組的最后一個解就是相應(yīng)的偏自相關(guān)系數(shù) ?1,1, ?2,2 , … , ?k,k … 。 且對于一個 AR(p) 模型 ， ?k,k 的最高階數(shù)為 p， 也即 AR(p) 模型的偏自相關(guān)系數(shù)是 p 階截尾的 。 因此 ， 可以通過識別 AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)的個數(shù) ， 來確定 AR(p) 模型的階數(shù) p， 進(jìn)而設(shè)定正確的模型形式 ， 并通過具體的估計方法估計出 AR(p) 模型的參數(shù) 。 80 4. 模型的識別與建立 我們引入了自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)這兩個統(tǒng)計量來識別 ARMA(p,q) 模型的系數(shù)特點(diǎn)和模型的階數(shù) 。 但是 ， 在實(shí)際操作中 ， 自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)是通過要識別序列的樣本數(shù)據(jù)估計出來的 ， 并且隨著抽樣的不同而不同 ， 其估計值只能同理論上的大致趨勢保持一致 ，并不能精確的相同 。 因此 ， 在實(shí)際的模型識別中 ， 自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)只能作為模型識別過程中的一個參考 ， 并不能通過它們準(zhǔn)確的識別模型的具體形式 。 具體的模型形式 ， 還要通過自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)給出的信息 ， 經(jīng)過 反復(fù)的試驗(yàn)及檢驗(yàn) ， 最終挑選出各項(xiàng)統(tǒng)計指標(biāo)均符合要求的模型形式 。 81 例 利用消費(fèi)價格指數(shù)研究模型識別和建模 本例將用 ARMA模型模擬我國 1983年 1月～ 2020年 8月的居民消費(fèi)價格指數(shù) CPI（ 上年同月 =100） 的變化規(guī)律 。 實(shí)際上用后面學(xué)到的單位根檢驗(yàn)可知 CPI序列是一個非平穩(wěn)的序列