【正文】 在實際應用中 ， 還需要兼。 這使我們能夠很方便的在設定的顯著性水平下判斷高階自相關(guān)序列是否存在單位根 。判斷 ? 的估計值 是接受原假設或者接受備選假設 ， 進而判斷一個高階自相關(guān)序列 AR(p) 過程是否存在單位根 。 100 2. ADF檢驗 考慮 yt 存在 p階序列相關(guān) ， 用 p階自回歸過程來修正 ， 在上式兩端減去 yt1， 通過添項和減項的方法 ， 可得 其中 tptpttt uyyyay ?????? ??? ??? ?2211tpiititt uyyay ???? ?????111 ΔΔ ??11?? ??pii?? ?????pijji1??101 ADF檢驗方法通過在回歸方程右邊加入因變量 yt 的滯后差分項來控制高階序列相關(guān) tpiititt uyyy ??? ????11 ?? ??tpiititt uyayy ???? ????11 ?? ??tpiititt uytayy ????? ????11 ?? ???() () () 102 擴展定義將檢驗 () 原假設為：至少存在一個單位根；備選假設為：序列不存在單位根 。如果序列存在高階滯后相關(guān) ， 這就違背了擾動項是獨立同分布的假設 。 這一檢驗被稱為 DickeyFuller檢驗 (DF檢驗 )。 ?????0:0:10??HH99 Mackinnon進行了大規(guī)模的模擬 ， 給出了不同回歸模型 、 不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值 。 98 其中： ? =? 1， 所以原假設和備選假設可以改寫為 可以通過最小二乘法得到 ? 的估計值 ， 并對其進行顯著性檢驗的方法 ， 構(gòu)造檢驗顯著性水平的 t 統(tǒng)計量 。 tttt uyyy ???? ? 1ttt uyy ???? )1( ?97 因此 ， 判斷一個序列是否平穩(wěn) ， 可以通過檢驗 ? 是否嚴格小于 1來實現(xiàn) 。 ()式可寫成： 顯然 yt 的差分序列是平穩(wěn)的 。 ttt uyy ?? ? 1?ttt uayy ??? ? 1?ttt utayy ???? ? ?? 1() () () 1. DF檢驗 為說明 DF檢驗的使用 ， 先考慮 3種形式的回歸模型 96 (1) 如果 1 ? 1， 則 yt 平穩(wěn) （ 或趨勢平穩(wěn) ） 。 ADF檢驗和 PP檢驗方法出現(xiàn)的比較早 ， 在實際應用中較為常見 ， 但是 ， 由于這 2種方法均需要對被檢驗序列作可能包含常數(shù)項和趨勢變量項的假設 ， 因此 ， 應用起來帶有一定的不便；其它幾種方法克服了前 2種方法帶來的不便 ， 在剔除原序列趨勢的基礎(chǔ)上 ， 構(gòu)造統(tǒng)計量檢驗序列是否存在單位根 ， 應用起來較為方便 。 非平穩(wěn)序列的單位根檢驗 檢查序列平穩(wěn)性的標準方法是單位根檢驗 。 一般而言 ， 表示存量的數(shù)據(jù) ， 如以不變價格資產(chǎn)總值 、 儲蓄余額等存量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為 2階單整 I(2) ；以不變價格表示的消費額 、 收入等流量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為 1階單整 I(1) ；而像利率 、 收益率等變化率的數(shù)據(jù)則經(jīng)常表現(xiàn)為 0階單整 I(0) 。 93 單整階數(shù)是使序列平穩(wěn)而差分的次數(shù) 。 定義如下： 定義： 如果序列 yt ， 通過 d 次差分成為一個平穩(wěn)序列 ， 而這個序列差分 d – 1 次時卻不平穩(wěn) ， 那么稱序列 yt為 d 階單整序列 ， 記為 yt ～ I(d)。 一個可行的辦法是先把一個非平穩(wěn)時間序列通過某種變換化成一個平穩(wěn)序列 ， 根據(jù) ， 并利用變量之間的相關(guān)信息 ， 描述經(jīng)濟時間序列的變化規(guī)律 。 91 殘差序列是一個非平穩(wěn)序列的回歸被稱為偽回歸 ，這樣的一種回歸有可能擬合優(yōu)度 、 顯著性水平等指標都很好 ， 但是由于殘差序列是一個非平穩(wěn)序列 ， 說明了這種回歸關(guān)系不能夠真實的反映因變量和解釋變量之間存在的均衡關(guān)系 ， 而僅僅是一種數(shù)字上的巧合而已 。 90 實際上 ， 在 關(guān)問題暗含著殘差序列是一個平穩(wěn)序列 。 若令 a = 0， y0=0， 則由式 ()生成的序列 yt， 有 var(yt) = t? 2（ t = 1, 2, ?, T） ， 顯然違背了時間序列平穩(wěn)性的假設 。如果 yt 能夠通過去勢方法排除確定性趨勢，轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，稱為退勢平穩(wěn)過程。 5. 非平穩(wěn)序列和單整 88 一般時間序列可能存在一個非線性函數(shù)形式的確定性時間趨勢，例如可能存在多項式趨勢： () t = 1, 2, ?, T 同樣可以除去這種確定性趨勢，然后分析和預測去勢后的時間序列。 注意到像圖 列常呈指數(shù)趨勢增長 ， 但是指數(shù)趨勢取對數(shù)就可以轉(zhuǎn)換為線性趨勢 。 86 圖 中國 1978年～ 2020年的生產(chǎn)法 GDP序列 87 描述類似圖 法 ， 一種方法是包含一個確定性時間趨勢 () 其中 ut 是平穩(wěn)序列； a + ? t 是線性趨勢函數(shù) 。 非平穩(wěn)時間序列在各個時間點上的隨機規(guī)律是不同的 ， 難以通過序列已知的信息去掌握時間序列整體上的隨機性 。 167。 一個平穩(wěn)序列的數(shù)字特征 ， 如均值 、 方差和協(xié)方差等是不隨時間的變化而變化的 ， 時間序列在各個時間點上的隨機性服從一定的概率分布 。 因此，在實際建模中，可以借助 ARMA(p,q)模型去擬合一些具有平穩(wěn)性的經(jīng)濟變量的變化規(guī)律。建模得到 t = () () R2= .= tttt uC P IC P IC P I 21 ??? ?? ???圖 左邊是 CPI序列的實際值和擬合值，右邊是殘差序列 83 由 圖 AR(1) 模型比較好的擬合了 CPI序列，回歸方程的殘差序列基本上也是一個零均值的平穩(wěn)序列。 首先觀察 ?CPI序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的圖形 : 圖 ?CPI序列的相關(guān)圖 82 從圖 ?CPI序列的自相關(guān)系數(shù)是拖尾的，偏自相關(guān)系數(shù)在 2階截尾。 81 例 利用消費價格指數(shù)研究模型識別和建模 本例將用 ARMA模型模擬我國 1983年 1月～ 2020年 8月的居民消費價格指數(shù) CPI（ 上年同月 =100） 的變化規(guī)律 。 因此 ， 在實際的模型識別中 ， 自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)只能作為模型識別過程中的一個參考 ， 并不能通過它們準確的識別模型的具體形式 。 80 4. 模型的識別與建立 我們引入了自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)這兩個統(tǒng)計量來識別 ARMA(p,q) 模型的系數(shù)特點和模型的階數(shù) 。 且對于一個 AR(p) 模型 ， ?k,k 的最高階數(shù)為 p， 也即 AR(p) 模型的偏自相關(guān)系數(shù)是 p 階截尾的 。 對于一個 AR(p)模型 ， tptpttt uuuu ???? ????? ??? ?2211() 將式 （ ） 兩邊同時乘以 utk ( k = 1, 2 , … , p) ， 再對方程兩邊取期望值并除以序列 ut的方差得到如下關(guān)于系數(shù) ?1 , ?2 , … , ?p的線性方程組： ???????????????????????pppppppprrrrrrrrr?????????????22112221111121() 79 其中： r1 , r2 , … , rp分別為序列 ut 的 1 , 2 , … , p階自相關(guān)系數(shù) 。 所以 ， 可以考慮使用偏自相關(guān)系數(shù)?k,k， 以便更加全面的描述自相關(guān)過程 AR(p)的統(tǒng)計特征 。 因此 ， 可以通過自相關(guān)系數(shù)來獲得一些有關(guān) AR(p) 模型的信息 ， 如低階 AR(p) 模型系數(shù)符號的信息 。 77 由此可知 ， AR(p) 模型的自相關(guān)系數(shù)會由于 g1 , g2 , … , gp及 k取值的不同 ， 呈現(xiàn)出不同的衰減形式 ， 可能是指數(shù)式的衰減 ， 也可能是符號交替的震蕩式的衰減 。 故可以通過識別一個序列的偏自相關(guān)系數(shù)的拖尾形式 ， 大致確定它應該服從一個 MA(q) 過程 。 ?????????????????????qkqkkrqqkqkkkk00101221110 ???????????75 MA(q) 的偏自相關(guān)系數(shù)的具體形式隨著 q 的增加變得越來越復雜 ， 很難給出一個關(guān)于 q 的一般表達式 ， 但是 ， 一個 MA(q) 模型對應于一個AR(∞) 模型 。 ut與 ut+k 不相關(guān) ， 這種性質(zhì)通常稱為截尾 。因此，如果我們能求出關(guān)于 ? k , k的估計值，并檢驗其顯著性水平，就能夠確定時間序列 ut 的自相關(guān)的階數(shù)。如果 rk 在小的滯后階數(shù)下趨于零，表明序列 ut 服從低階移動平均過程 72 如果這種自相關(guān)的形式可由滯后小于 k階的自相關(guān)表示，那么偏相關(guān)在 k期滯后下的值趨于零。如果 r1 ? 0 ，意味著序列 ut 是一階自相關(guān)。 71 通常的， AR(p) 模型的自相關(guān)系數(shù)是隨著滯后階數(shù) k的增加而呈現(xiàn)指數(shù)衰減或者震蕩式的衰減，具體的衰減形式取決于 AR(p) 模型滯后項的系數(shù)。在實際研究中，所能獲得的只是經(jīng)濟指標時間序列 ut 的數(shù)據(jù)，根據(jù)經(jīng)濟指標的樣本特征，來推斷其總體（真實）特征。 這樣 ， 下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù)： Y c X ma(2) ma(1) sma(4) ar(1) Y sma(4 ) c ar(1) ma(2) X ma(1) 70 167。 69 為適當?shù)卦O置初值 ， 需對 EViews如何為 ARMA設置系數(shù)多些了解 。 在這個選項下 ， EViews使用系數(shù)向量 C中的值 。 可以選擇 、 、 以將所有初值設為零 。 EViews缺省方法是 OLS/TSLS，這種方法先進行沒有 ARMA項的預備估計 ， 再從這些值開始非線性估計 。 68 為控制 ARMA估計初值 ， 在方程定義對話框單擊Options。從前一步初值重新開始，使方程從中止處開始而不是從開始處開始。 EViews自行確定初值。 注意：非線性最小二乘估計漸進等于極大似然估計且漸進有效 。 tt LcuL ?)()( ????67 4. ARMA(p,q)模型的估計選擇 EViews估計 AR模型采用非線性回歸方法 ， 對于 MA模型采取回推技術(shù) (Box and Jenkins,1976)。 我們利用滯后算子多項式寫一般的 ARMA模型： 如果 AR模型滯后多項式有實根或一對復根的倒數(shù)