【正文】 模型 3的展開式為： 即 由于 ?t表示預測期的隨機擾動項，它未知，可假設為 0，于是 t期的預測式為 : 為模型 3中滯后 2期與滯后 4期的相應殘差項的估計值。 不同模型的回歸結果列于下表中 可以看出 :在純 MA模型中，模型 4具有較好的性質，但由于 MA(5)的 t檢驗偏小，因此可選取模型 3。 下面只建立 中國人均居民消費（ CPC） 的隨機時間序列模型。 對 2022年中國支出法 GDP的預測結果（億元） 預測值 實際值 誤差 模型 1 95469 95933 % 模型 3 97160 95933 % 由于 中國人均居民消費（ CPC）與人均國內生產總值（GDPPC）這兩時間序列是非平穩(wěn)的，因此不宜直接建立它們的因果關系回歸方程。 模型 1可作如下展開： 于是，當已知 t t t3期的 GDP時，就可對第 t期的GDP作出外推預測。因此 : 模型 1與 3可作為描述中國支出法 GDP一階差分序列的隨機生成過程。 本例中加入常數(shù)項的回歸為： （ ） （ ） （ ） r2 = R2 = DW.= n 模型檢驗 下表列出三模型的殘差項的自相關系數(shù)及 QLB檢驗值。再次驗證了一階差分后的GDP滿足 AR(2)隨機過程。因此 可初步判斷該序列滿足 2階自回歸過程 AR(2)。 記 GDP經一階差分后的新序列為 GDPD1，該新序列的樣本自相關函數(shù)圖與偏自相關函數(shù)圖如下： 例； 中國支出法 GDP的 ARMA(p,q)模型估計。 常用的模型選擇的判別標準有： 赤池信息法 （ Akaike information criterion， 簡記為 AIC）與 施瓦茲貝葉斯法 （Schwartz Bayesian criterion， 簡記為 SBC）： 中國支出法 GDP是非平穩(wěn)的，但它的一階差分是平穩(wěn)的，即支出法 GDP是 I(1)時間序列。 在選擇可能的模型時， AIC與 SBC越小越好 顯然，如果添加的滯后項沒有解釋能力，則對 RSS值的減小沒有多大幫助，卻增加待估參數(shù)的個數(shù)，因此使得 AIC或 SBC的值增加。 若大于相應臨界值，則應拒絕所估計的模型，需重新識別與估計。 因此， 對可能的適當?shù)哪Ｐ?，存在著模型?“簡潔性 ”與模型的擬合優(yōu)度的權衡選擇問題。 AIC與 SBC模型選擇標準 另外一個遇到的問題是，在實際識別 ARMA(p,q)模型時，需多次反復償試，有可能存在不止一組 （ p,q） 值都能通過識別檢驗。 六、模型的檢驗 時間序列模型的識別與估計過程往往是同步進行的。 如果通過所估計的模型計算的樣本殘差不代表一白噪聲，則說明模型的識別與估計有誤，需重新識別與估計。 下面以一般的 ARMA(p,q)模型為例說明。 ??2的估計值為 ： 需要說明的是， 在上述模型的平穩(wěn)性、識別與估計的討論中， ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項。 為了與 AR(p)模型的 Yule Walker方程估計進行比較，將(**)改寫成： j=1,2,…,p由自協(xié)方差函數(shù)的定義，并用自協(xié)方差函數(shù)的估計值 代入，上式表示的方程組即為： 或 j=1,2,…,pj=1,2,…,p解該方程組，得到： 即為參數(shù)的最小二乘估計。按照估計 MA模型參數(shù)的方法，可以得到 ?1,?2,? ,?q以及 ??2的估計值。 ⒊ ARMA(p,q)模型的矩估計 在 ARMA(p,q)中共有 (p+q+1)個待估參數(shù) ?1,?2,? ,?p與 ?1,?2,? ,?q以及 ??2，其估計量計算步驟及公式如下： 第一步 ，估計 ?1,?2,? ,?p 是總體自相關函數(shù)的估計值，可用樣本自相關函數(shù) rk代替 。 （ 1） MA(1)模型的直接算法 對于 MA(1)模型，（ *）式相應地寫成于是 或有于是有解 由于參數(shù)估計有兩組解，可根據(jù)可逆性條件 |?1|1來判斷選取一組。 ⒉ MA(q)模型的矩估計 將 MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個量用估計量代替，得到： 首先 求得自協(xié)方差函數(shù)的估計值， (*)是一個包含 (q+1)個待估參數(shù) (*)的非線性方程組，可以用 直接法 或 迭代法 求解。結構階數(shù)模型識別 確定 估計 參數(shù)五、隨機時間序列模型的估計 ⒈ AR(p)模型的 Yule Walker 方程估計 在 AR(p)模型的識別中，曾得到 利用 ?k=?k， 得到如下方程組： 此方程組被稱為 Yule Walker 方程組 。 ARMA(p, q)過程 AR(p)、 MA(q)、 ARMA(p,q)模型的估計方法較多， 大體上分為 3類： （ 1）最小二乘估計； （ 2）矩估計； （ 3）利用自相關函數(shù)的直接估計。因此， 如果計算的 rk滿足 ： ARMA(p,q)的自相關函數(shù) ，可以看作 MA(q)的自相關函數(shù)和 AR(p)的自相關函數(shù)的混合物。但可以證明，當 kq時， rk服從如下漸近正態(tài)分布 : rk~N(0,1/n)式中 n表示樣本容量。 MA(q)模型的識別規(guī)則： 若隨機序列的自相關函數(shù)截尾，即自 q以后， ?k=0（ kq） ；而它的偏自相關函數(shù)是拖尾的，則此序列是滑動平均 MA(q)序列。 于是： 可以根據(jù)自相關系數(shù)是否從某一點開始一直為 0來判斷 MA(q)模型的階。 因此，我們 把 |?|1稱為 MA(1)的可逆性條件 （invertibility condition） 或可逆域。 MA(1)過程可以等價地寫成 ?t關于無窮序列 Xt，Xt1， … 的線性組合的形式：或 （ *） (*)是一個 AR(?)過程，它的偏自相關函數(shù)非截尾但卻趨于零，因此 MA(1)的偏自相關函數(shù)是非截尾但卻趨于零的。 因此，如果計算的 rk*滿足 需指出的是，我們就有 %的把握判斷原時間序列在 p之后截尾。 在實際識別時，由于樣本偏自相關函數(shù) rk*是總體偏自相關函數(shù) ?k*的一個估計，由于樣本的隨機性，當kp時， rk*不會全為 0，而是在 0的上下波動。 AR(p)的一個主要特征是 :kp時， ?k*=Corr(Xt,Xtk)=0 即 ?k*在 p以后是截尾的。 與之相反， Xt與 Xtk間的 偏自相關函數(shù) (partial autocorrelation，簡記為 PACF)則是消除了中間變量Xt